Enunciado

O tempo entre os problemas de acabamento de uma superfície em um processo geral de galvanização é exponencialmente distribuído, com uma média de 40 horas. Uma única planta opera três linhas de galvanização que funcionou, supostamente, de forma independente.

  1. Qual é a probabilidade nenhuma linha experimentar um problema de acabamento da superfície, em 40 horas de operação?
  2. Qual é a probabilidade de todas as três linhas experimentar em um problema de acabamento na superfície, entre 20 e 40 horas de operação?
  3. Por que a função densidade de probabilidade conjunta não foi necessária para responder as questões anteriores?

Passo 1

Sejam as variáveis ​​aleatórias X, Y e Z o tempo com um problema de acabamento de superfície na primeira, na segunda e na terceira linha de galvanização.

Portanto, X, Y e Z seguem uma distribuição exponencial com uma média de 40 horas

f ( x ) = 1 40 e - x / 40 , 0 < x < ∞

Letra a:

Vamos encontrar a probabilidade de que nenhuma das linhas tenha um problema de acabamento de superfície em 40 horas de operação.

P ( X > 40 , Y > 40 , Z > 40 ) = P ( X > 40 ) 3

P ( X > 40 ) = ∫ 40 ∞ 1 40 e - x / 40 d x = e - 1

Então,

P ( X > 40 ) 3 = 0.0498

Passo 2

Letra b:

Vamos achar a probabilidade de que todas as três linhas experimentem um problema de acabamento de superfície entre 20 e 40 horas de operação.

P ( 20 < X < 40,20 < Y < 40,20 < Z < 40 ) = P ( 20 < X < 40 ) 3

P ( 20 < X < 40 ) = ∫ 20 40 1 40 e - x / 40 d x

= 0.2387

Portanto,

P ( 20 < X < 40 ) 3 = 0.0136

Passo 3

Letra c:

Porque o processo é representado por 3 distribuições exponenciais independentes. Portanto, suas probabilidades podem ser multiplicadas.

Resposta

  1. 0.0498
  2. 0.0136
  3. Porque o processo é representado por 3 distribuições exponenciais independentes. Portanto, suas probabilidades podem ser multiplicadas.
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