A largura de um portal é distribuída normalmente, com uma média de 24 polegadas e um desvio padrão de ⅛ polegada. A largura de uma porta é normalmente distribuída, com uma média de 23 e ⅞ polegadas e um desvio padrão de 1/16 polegada. Considere independência.

  1. Determine a média e o desvio padrão da diferenças entre a largura do portal e a largura da porta.
  2. Qual é a probabilidade de a largura do protal menos a largura da porta exceder ¼ polegada?
  3. Qual é a probabilidade da porta não se ajustar no portal?

Passo 1

Seja X e Y a largura de do portal e a largura da porta, respectivamente.

X e Y seguem uma distribuição normal

X ∼ ( 24,1 / 8 2 )

Y ∼ N ( 23875.1,1 / 16 2 )

Seja T a diferença entre a largura do portal e a largura da porta:

T = X - Y

Passo 2

Letra a:

Vamos determinar a média e o desvio padrão de T.

μ t = E ( T ) = E ( X ) - E ( Y )

= 0.125

V ( T ) = V ( X ) + V ( Y )

1 64 + 1 256 = 0.01953

σ t = V ( T ) = 0.1398

Passo 3

Letra b:

Vamos calcular a probabilidade de que T exceda 0.25.

T ∼ N ( μ t ,   σ 2 t )

z = T - μ t σ t = 0.89

Portanto,

P ( X - Y > 0.25 ) = P ( Z > z )

= 0.1867

Passo 4

Letra c:

Vamos calcular a probabilidade de a porta não caber no portal. Em outras palavras, P ( X - Y < 0 ) .

z = T - μ t σ t = 0 - 0.125 0.1398 =   - 0.89

Portanto,

P ( X - Y < 0 ) = P ( Z < z )

= 0.1867

Resposta

  1. μ t = 0.125 e σ t = 0.1398
  2. 0.1867
  3. 0.1867
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