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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 108

Em um teste de uma placa de circuito impresso, usando um teste-padrão aleatório, um arranjo de 10 bits é igualmente provável de ser zero ou um. Considere que os bits sejam independentes.

  1. Qual é a probabilidade de todos os bits serem iguais a um?
  2. Qual é a probabilidade de todos os bits serem iguais a zero?
  3. Qual é a probabilidade de exatamente cinco bits serem iguais a um e cinco bits serem iguais a zero?

Passo 1

Sejam os eventos:

A i = { i - é s i m o   b i t   é   1 }

para i = 1,2 , . . . , 10 . Nos é dado:

P ( A i ) = 1 2 = 0.5

P ( A i ' ) = 1 - P ( A i ) = 1 2 = 0.5

porque os bits têm a mesma probabilidade de ser 0 ou 1.

Passo 2

Letra a:

O evento em que todos os bits são 1s é, na verdade, a interseção dos eventos A i ,   i = 1,2 , . . . , 10 .

Portanto

P ( A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A 10 ) = P ( A 1 ) × P ( A 2 ) × . . . × P ( A 10 )

= 0 . 5 10 = 0.00098

os eventos A i ,   i = 1,2 , . . . , 10 são independentes. Então nós podemos usar a propriedade da multiplicação.

Passo 3

Letra b:

O evento de todos os bits serem 0s pode ser representado como interseção do complemento dos eventos A i ,   i = 1,2 , . . . , 10 . Lembre-se daquele complemento do evento A i que é o i-ésimo que é 0. Portanto,

P ( A 1 ' ∩ A 2 ' ∩ . . . ∩ A 10 ' ) = P ( A 1 ' ) × P ( A 2 ' ) × . . . × P ( A 10 ' )

= 0 . 5 10 = 0.00098

Os eventos A i ,   i = 1,2 , . . . , 10 são independentes e implica que eventos A i ' ,   i = 1,2 , . . . , 10 são independentes, então, podemos usar a propriedade de multiplicação.

Passo 4

Letra c:

O evento em que exatamente 5 bits são 1s e 5 bits são 0s pode ser representado como a união de eventos como

0101010101, 0000011111, ...

onde cada um desses eventos é a intersecção de 5 eventos A i e 5 eventos A i ' e todos eles têm a mesma probabilidade. Assim, uma vez que esses eventos são disjuntos, a probabilidade de união de eventos disjuntos é a soma das probabilidades desses eventos.

Seja

E 5 = { e x a t a m e n t e   5   b i t s   s ã o   1 s   e   5   b i t s   s ã o   0 s }

O evento E 5 será a soma das probabilidades de eventos disjuntos.

Sabemos que aquele evento E 3 é a união de eventos disjuntos, mas quanto? Já que nós

não nos preocupamos com o pedido, vamos usar combinações para determinar isso.

No caso, n = 10 (temos 10 bits) e queremos o tamanho do grupo k=5 (cinco 1s). Portanto, temos:

C 5,10 = C 10 5 = 10 ! 5 ! ( 10 - 5 ) ! = 252

5 grupos de 1s de tamanhos diferentes para colocar em uma matriz de 10 bits.

Agora precisamos determinar a probabilidade de interseções. Já que as probabilidades de todas as 252 interseções são iguais, e temos algumas dessas probabilidades, vamos calcular um

P ( A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A 5 ' ∩ A 6 ' ∩ A 7 ' ∩ . . . ∩ A 10 ' )

P ( A 1 ) × . . . × P ( A 5 ) × . . . × P ( A 6 ' ) × . . . × P ( A 10 ' )

0 . 5 10 = 0.00098

Portanto, a probabilidade de que exatamente 5 bits sejam 1s e 5 bits sejam 0s é:

P ( E 5 ) = 0.00098 + . . . + 0.00098 = 252 × 0.00098 = 0.246

Resposta

  1. 0.00098
  2. 0.00098
  3. 0.246
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