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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 27

Suponha que as variáveis aleatórias, existem uma função densidade de probabilidade conjunta. Determine o seguinte:

Passo 1

Temos os seguintes dados:

f ( x , y , z ) = 8 x y z

0 < x < 1

0 < y < 1

0 < z < 1

Letra a:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( X < 0.5 ) = ∫ 0 0.5 ∫ 0 1 ∫ 0 1 8 x y z d z d y d x =

= ∫ 0 0.5 ∫ 0 1 4 x y d y d x =

= ∫ 0 0.5 2 x d x =

= 1 4 =

= 0.25

Passo 2

Letra b:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( X < 0.5 , Y < 0.5 ) =

= ∫ 0 0.5 ∫ 0 0.5 ∫ 0 1 8 x y z d z d y d x =

= ∫ 0 0.5 ∫ 0 0.5 4 x y d y d x =

= ∫ 0 0.5 1 2 x d x =

= 1 16 = 0.0625

Passo 3

Letra c:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados, (z não pode ser maior que 1):

P ( Z < 2 ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 8 x y z d z d y d x = 1

Passo 4

Letra d:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( X < 0.5 , Z < 2 ) =

= ∫ 0 0.5 ∫ 0 1 ∫ 0 1 8 x y z d z d y d x =

= P ( X < 0.5 )

Regra geral de adição para quaisquer dois eventos:

P ( A   o u   B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A   e   B )

Use a regra geral de adição:

P ( X < 0.5   o u   Z < 2 ) = P ( X < 0.5 ) + P ( Z < 2 ) - P ( X < 0.5 , Z < 2 ) = P ( Z < 2 ) =

= 1

Passo 5

Letra e:

O valor esperado μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) :

E ( X ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 8 x 2 y z d z d y d x =

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 x 2 y d y d x =

= ∫ 0 1 2 x 2 d x =

= 2 3 =

= 0.6667

Passo 6

Letra f:

Vamos usar a definição de probabilidade condicional:

P ( X < 0.5 | Y < 0.5 ) = P ( X < 0.5 , Y < 0.5 ) P ( Y < 0.5 ) =

= 0.0625 0.25 =

= 0.25

Passo 7

Letra g:

A distribuição marginal de X é f integrada sobre todos os valores possíveis de Y:

f Z ( z ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 8 x y z d y d x =

= ∫ 0 1 4 x z d x =

= 2 z

A distribuição condicional é a distribuição conjunta dividida pela distribuição marginal:

f X Y | Z = z ( x , y ) = f X Y Z ( x , y , z ) f Z ( z ) =

= 8 x y z 2 z =

= 4 x y

A probabilidade da condição é a integral da função condicional sobre os intervalos dados:

P ( X < 0.5 , Y < 0.5 | Z = 0.8 ) = ∫ 0 0.5 ∫ 0 0.5 4 x y d y d x =

= ∫ 0 0.5 1 2 x d x =

= 1 16 =

= 0.0625

Passo 8

Letra h:

A distribuição marginal de X é f integrada sobre todos os valores possíveis de Y:

f Y Z ( y , z ) = ∫ 0 1 8 x y z d x =

= 4 y z

A distribuição condicional é a distribuição conjunta dividida pelo marginal distribuição:

f X | Y = y , Z = z ( x ) = f X Y Z ( x , y , z ) f Y Z ( y , z ) =

= 8 x y z 4 y z =

= 2 x

Passo 9

Letra i:

A probabilidade da condição é a integral da função condicional sobre os intervalos dados:

P ( X < 0.5 | Y = 0.5 , Z = 0.8 ) = ∫ 0 0.5 2 x d x =

= 1 4 =

= 0.25

Resposta

  1. 0.25
  2. 0.0625
  3. 1
  4. 1
  5. 0.6667
  6. 0.25
  7. 0.0625
  8. 2x
  9. 0.25
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