Transformação linear de uma variável aleatória Nos exercícios 39 e 40, use a seguinte informação. Para uma variável aleatória x, uma nova variável aleatória y pode ser criada ao adotar-se uma transformação linear y = a + bx, em que a e b são constantes. Se uma variável aleatória x tem média e desvio padrão , então a média, a variância e o desvio padrão de y são dados pelas seguintes fórmulas:

40. O salário médio anual dos funcionários de uma empresa é $ 36.000 com uma variância de 15.202.201. Ao final do ano, cada funcionário recebe um bônus de $ 2.000 e um aumento de 4% (baseado no salário). Qual é o desvio padrão dos novos salários?

Como o próprio problema diz, o novo salário a ser pago será de $2.000 mais 4% de bônus, ou seja, 0,04. Sendo assim, a variável aleatória Y pode ser considerada como gratificação e descrita como Y = 2000 + 0,04X, onde a = 2000 e b = 0,04, considerando Y = a + bX.

Para encontrar a gratificação média, basta substituir os novos valores na fórmula abaixo:

E a variância de Y vai ser:

Perceba que não trabalhamos com desvio padrão até agora. Isto porque não se pode somar desvios em uma nova variável aleatória, pois as medidas tem grandezas diferentes. Para se calcular o desvio padrão de uma variável aleatória transformada linearmente, deve-se somar as variâncias e tirar a raiz quadrada.

Nosso próximo passo é determinar o novo salário, que nada mais ser do que a soma das duas variáveis aleatórias X (salário) e Y (gratificação). Vamos chamar essa nova variável aleatória de Z, ou seja, Z = X + Y.

Desse modo, sabemos que a variância de Z será a soma das variâncias de X e Y:

Nesse caso, a variância do novo salário será de 15.226.524,52.

Agora sim, podemos calcular o desvio padrão de Z.

O desvio padrão do novo salário é $3.902,12.

E é isso galerinha. Até a próxima!