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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 29

Uma urna contém n bolas brancas e m bolas pretas, onde n e m são números positivos.

(a) Se duas bolas são retiradas da urna aleatoriamente, qual é a probabilidade de que elas sejam da mesma cor?

(b) Se uma bola é retirada da urna aleatoriamente e então recolocada antes que a segunda bola seja retirada, qual é a probabilidade de que as bolas sacadas sejam da mesma cor?

(c) Mostre que a probabilidade calculada na letra (b) é sempre maior do que aquela calculada na letra (a)?

Passo 1

Essa aqui também não tem estresse em galera, bora lá.

a. A única diferença é que o problema é todo literal, sem números:

P = n 2 + m 2 n + m 2 = n ⋅ n - 1 + m ⋅ ( m - 1 ) n + m ⋅ ( n + m - 1 )

Passo 2

b. Aqui é parecido, sempre lembrando do princípio de probabilidade p = f a v o r a v e i s   p o s s i v e i s

P = n ⋅ n + m ⋅ m n + m ⋅ ( n + m ) = n 2 + m 2 n + m 2

Passo 3

c. Vamos agora mostrar que:

n 2 + m 2 n + m 2 > n ⋅ n - 1 + m ⋅ ( m - 1 ) n + m ⋅ ( n + m - 1 )

Tome contaraaal, BORA:

Igualando os denominadores

n 2 + m 2 n + m 2 ⋅ n + m - 1 n + m - 1 > n ⋅ n - 1 + m ⋅ m - 1 n + m ⋅ n + m - 1 ⋅ n + m n + m

Daí:

n 2 + m 2 . n + m - 1 > n 2 - n + m 2 - m ⋅ n + m →

n 3 + n 2 m - n 2 + n m 2 + m 3 - m 2 > n 3 - n 2 + n m 2 - n m + m n 2 - n m + m 3 - m 2 →

n 2 m > - 2 n m + m n 2 → n > - 2 + n → 0 > - 2

OK! DEMONSTRADO

Resposta

a. n ⋅ n - 1 + m ⋅ ( m - 1 ) n + m ⋅ ( n + m - 1 )

b. n 2 + m 2 n + m 2

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