Dois especialistas em qualidade examinam pilhas de pneus e designam uma classificação de qualidade para cada pneu, numa escala de três pontos. Sejam X a nota dada pelo especialista A e Y a nota dada por B. A tabela a seguir fornece a distribuição conjunta de X e Y.

Determine µX e µY.

Passo 1

Mais um exercício de probabilidade, vamos resolvê-lo?

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Para iniciarmos, precisamos saber o que o exercício quer, e nesse caso, ele quer os valores esperados de X e Y, respectivamente. Para não causar confusão:

E(X)= µX e E(Y)= µY, agora vamos seguir a diante, lembrando da fórmula do valor esperado:

E X = ∑ i = 1 n x i p ( x i )

E Y = ∑ i = 1 n y i p ( y i )

Passo 2

Agora que temos as fórmulas para calcular o que foi pedido, vamos entendê-las, termo a termo.

Primeiro trabalharemos com E(X)

X é a nossa variável aleatória e nesse caso é a nota dada pelo avaliador A

xi são os valores assumidos pela nossa variável aleatória X, nesse caso eles são: 1,2 e 3

p(xi) é a probabilidade associada a X ser igual a determinado xi.

Pela tabela, podemos concluir que:

p x = 1 =   0,1 + 0,05 + 0,02 1 = 0,17

p x = 2 =   0,1 + 0,35 + 0,05 1 = 0,5

p x = 3 = ( 0,03 + 0,1 + 0,2 ) 1 = 0,33

Agora, olhando E(Y)

Y é a nossa variável aleatória e nesse caso é a nota dada pelo avaliador B

yi são os valores assumidos pela nossa variável aleatória Y, nesse caso eles são: 1,2 e 3

p(yi) é a probabilidade associada a Y ser igual a determinado yi.

Pela tabela, podemos concluir que:

p y = 1 =   0,1 + 0,1 + 0,03 1 = 0,23

p y = 2 =   0,05 + 0,35 + 0,1 1 = 0,5

p y = 3 = ( 0,02 + 0,05 + 0,2 ) 1 = 0,27

Agora, temos todos os nossos dados determinados.

Passo 3

Substituindo nas expressões para encontrarmos os valores esperados, temos:

E X = 1 0,17 + 2 0,5 + 3 0,33 = 2.16

E Y = 1 0,23 + 2 0,5 + 3 0,27 = 2.04

Resposta

µX e µY que equivalem a E(X) e E(Y), respectivamente equivalem a 2.16 e 2.04, nessa ordem.

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