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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 100

Considere a situação do Exercício de revisão 5.99. Determinou-se que o plano amostral deveria ser extenso o bastante para que houvesse uma alta probabilidade, digamos de 0,9, de que se até dois defeitos existirem no lote de 50, pelo menos um deve ser encontrado na amostragem. Com essas restrições, quantos dos 50 deveriam ser amostrados?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Vamos usar X para representar o número de itens defeituosos na amostra de tamanho n ( ≥ 2 ) do lote de 50 contendo 2 defeituosos.

Portanto, X tem uma distribuição hipergeométrica com parâmetros N = 50 e k = 2 .

A função massa de probabilidade de X é:

h x ; N = 50 ,   n ,   k = 2 = k x N - k n - x N n

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

A probabilidade de que pelo menos 1 defeituoso seja encontrado na amostra de tamanho n do lote contendo 2 defeituosos.

P 1 ≤ X ≤ 2 = 1 - P X = 0

= 1 - 2 0 50 - 2 n - 0 50 n

= 1 - 48 n 50 n

Agora, podemos encontrar o tamanho da amostra n .

A probabilidade de que pelo menos 1 item defeituoso seja encontrado na amostra de tamanho n do lote contendo 2 defeituosos é 0,9 .

1 - P X = 0 = 0,9

P X = 0 = 0,1

48 n 50 n = 0,1

48 ! n ! 48 - n ! 50 ! n ! 50 - n ! = 0,1

1 ( 50 ) ( 49 ) 50 - n 49 - n = 0,1

( 50 - n ) ( 49 - n ) 50 49 = 0,1

2450 - 99 n + n 2 = 245

Usando Bhaskara, encontramos:

n 1 = 65       e n 2 = 34

Como n ≤ N = 50 , logo, o único valor possível é n = 34 .

Resposta

n = 34

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