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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 2

Se X é uma variável aleatória binomial, mostre que(a) P ˆ = X / n é um estimador nāo viciado de p ;(b) P ' = x + 2 n + n é um estimador viciado de p .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Dado que X ' ' é uma variável aleatória binomial.

Suponhamos que os parâmetros de ' X ' são n   e   p   e n t ã o   X ∼ b ( n , p )

Passo 2

(a) Se ' X ' é uma variável aleatória binomial, então sua média e variância E ( X ) = n p

Agora, V ( X ) = n p q Então P ˆ = X n E [ P ˆ ] = E X n

= 1 n E [ X ]

Uma vez E [ a X ] = a ⋅ E [ X ] que, se ' a ' é uma constante e ' X ' é uma variável aleatória

  = 1 n ⋅ n p = p   ∴ E ( P ˆ ) = p   ∴ P ˆ = X n   é  um estimador de p

Passo 3

 (b)  Dado que   P ' = X + n / 2 n + n E P ' = E X + n / 2 n + n   = 1 n + n ⋅ E X + n 2   = 1 n + n ⋅ E [ X ] + n / 2 n + n   J á  que   E [ a X + b ] = a E [ X ] + b

Passo 4

Se a   &   b são constantes e   ' X ' é uma variável aleatória.

  = n p n + n + n / 2 n + n   ∴ E P ' ≠ p   ∴ P ' = X + n / 2 n + n   é  um estimador de p

Resposta

Resposta nos passos.

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