A variável aleatória X , que representa o número de cerejas em um bolinho, tem a seguinte distribuição de probabilidade:

(a) Determine a média μ e a variância σ 2 de X

(b) Determine a média μ X - e a variância σ X - 2 da média X - para amostras aleatórias de 36 bolinhos de cereja.

(c) Determine a probabilidade de que o número médio de cerejas em 36 bolinhos seja menor que 5,5.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Relembrando as fórmulas já conhecidas por nós:

A média nós encontramos multiplicando cada valor de x por sua probabilidade de ocorrer.

μ X = ∑ i = 1 n x i p i

Já a variância, é dada pelo x diminuído pela média, ao quadrado, e multiplicado pela sua probabilidade de ocorrência:

σ X 2 = ∑ i = 1 n x i - μ X 2 p i

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Encontrando a média solicitada pelo enunciado e usando a fórmula do Passo 1:

μ X = 4 ∙ P X = 4 + 5 ∙ P X = 5 + 6 ∙ P X = 6 + 7 ∙ P X = 7

= 4 ∙ 0,2 + 5 ∙ 0,4 + 6 ∙ 0,3 + 7 ∙ 0,1

μ X = 5,3

Já a variância é dada por:

σ X 2 = 4 - μ X 2 ∙ P X = 4 + 5 - μ X 2 ∙ P X = 5 + 6 - μ X 2 ∙ P X = 6 + 7 - μ X 2 ∙ P X = 7

= 4 - 5,3 2 ∙ 0,2 + 5 - 5,3 2 ∙ 0,4 + 6 - 5,3 2 ∙ 0,3 + 7 - 5,3 2 ∙ 0,1

σ X 2 = 0,81

Passo 3

O espaço amostral é dado por n = 36 . Usando esse fato e os resultados da letra (a), nós temos a média:

μ X -   = μ X = 5,3

Já a variância da média é:

σ X - 2 = σ X 2 n = 0,81 36 = 0,0225

Passo 4

Para encontrarmos a probabilidade aleatória solicitada, vamos usar a fórmula a seguir:

P X - < x = P Z < X - - μ X - σ X -

Sendo assim, a probabilidade é:

P X - < 5,5 = P Z < 5,5 - 5,3 0,0225

= P Z < 5,5 - 5,3 0,15

= P Z < 1,33

Usando a tabela de valores de distribuição normal, encontramos:

P X - < 5,5 = 0,9082

Resposta

a) μ X = 5,3 , σ X 2 = 0,81

b) μ X -   = 5,3 , σ X - 2 = 0,0225

c) P X - < 5,5 = 0,9082

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