Exercícios de P-valor - Lista de Exercícios Resolvida

As especificações dos pentes de memória RAM para computadores fabricados pela Companhia Boa Memória indicam que a porcentagem de pentes defeituosos não excede 5%. Uma amostra de cem desses pentes apresentou sete defeituosos.

Com base nesse resultado, podemos afirmar que as especificações estão incorretas?

1. Qual a decisão a ser tomada, ao nível de significância de 0,01?
2. Qual o nível crítico do teste?

O tempo para transmitir em determinada rede de computadores varia segundo um modelo normal, com médiae variância . Depois de algumas mudanças na rede acredita-se numa redução no tempo de transmissão de dados, além de uma possível alteração na variabilidade. Foram realizados 10 ensaios independentes com um arquivo de e foram anotados os tempos de transmissão, em segundos:

Existe evidência suficiente de que o tempo médio de transmissão foi reduzido? Use nível de significância de 1%.

Um estudo com 420.095 dinamarqueses usuários de telefones celulares descobriu que 135 deles tinham desenvolvido câncer no cérebro. Uma pesquisa anterior a essa, diz que a taxa de incidência de tipo de câncer era de 0,034% para pessoas que não usavam telefones celulares.

(b) Você diria que os usuários de telefone celular parecem ter uma taxa de incidência de câncer no cérebro diferente da taxa de incidência deste tipo de câncer em pessoas que não usam telefone celular? Realize um teste de hipóteses, adotando um nível de significância de 1% para dar a sua resposta.

(c) Calcule o -valor do teste realizado no item anterior.

Um médico quer testar um novo medicamento e seu efeito no tempo de resposta de outras substâncias. Para isso, ele tratou 100 ratos com o medicamento e injetou outra substância neles posteriormente, verificando o tempo de resposta. A literatura diz que a média do tempo de resposta dessa substância é de . O médico obtém uma média amostral de e desvio padrão de para o tempo de resposta nos ratos que está estudando. Você acha que o novo medicamento cumpriu seu objetivo? Teste a um nível de confiança de .

Um produto químico tem seu teor de pureza distribuído conforme uma Normal com média 0,72 e desvio padrão 0,02. A fim de aumentar a pureza, o produto é submetido a um tratamento. Dezesseis unidades amostrais do produto são selecionadas de forma aleatória e submetidas a esse tratamento. Em seguida, a pureza de cada unidade é determinada obtendo-se, para elas, uma média aritmética de 0,73. Podemos dizer que o tratamento contribui para o aumento da pureza?

1. Qual seria a sua conclusão, ao nível de significância de 5%?
2. Qual o p-valor?

O fabricante de determinado modelo de automóvel afirma que seu desempenho médio é de de gasolina. Testes foram feitos em 36 desses veículos, escolhidos ao acaso, e apurou-se um desempenho médio de . Admita que o desempenho siga o modelo Normal com variância igual a . Através do p-valor execute os dois testes, itens (a) e (b) a seguir, com relação a afirmação do fabricante:

(a) contra a alternativa . Que decisão deve ser tomada ao nível de 5%?

(b) contra a alternativa . Que decisão deve ser tomada ao nível de 5%?

(c) No item (a) obtenha a região de rejeição com . Se, de fato, , isso corresponderia a que valor da probabilidade do erro tipo II?

c) Em estatística o que quer dizer “valor-p” ou “p-value”? Dê um exemplo e use um desenho para auxiliar a explicação (área de rejeição e área de aceitação).

Numa linha de produção um engenheiro precisa estimar a proporção de peças defeituosas. Ele deseja que sua estimativanão se desvie da proporção verdadeira por mais de 0,06 com probabilidade de 95%.

(a) Quantas peças se precisa examinar para satisfazer essa exigência?

(b) Foi verificado que esse tipo de defeito afeta no máximo 15% das peças. Utilizando essa informação adicional, para quanto seria possível diminuir o tamanho da amostra?

(c) Com esse último tamanho amostral (item b) foi extraída uma amostra para a qual se obteve . Quanto seria o p-valor do teste, versus ? Que decisão deveria ser tomada ao nível de significância de 5%?

O desempenho médio na estrada para um certo tipo de automóvel SUV movido a diesel é de segundo informações da montadora. A revista Auto Rodas especializada no assunto, verificou o desempenho na estrada em 27 desses automóveis e apurou um desempenho médio amostral de . Admitindo que o desempenho ao longo da estrada siga um modelo Normal com desvio padrão de :

(a) teste ao nível de significância de 5% a afirmação da montadora de que a média de consumo é igual a contra a alternativa de ser diferente de . O que você pode concluir?

(b) determine a probabilidade do erro do tipo II assumindo . O que esta probabilidade significa?

(c) calcule o p-valor desse teste.

Um grupo de arqueólogos propõe a teoria que o tamanho médio de crânios de seres humanos aumenta ao longo do tempo. Medições precisas garantem que atualmente tal quantidade comporta-se conforme uma distribuição normal, de média µ = 140mm e desvio padrão de 26mm. Uma amostra de 30 crânios, datadas de 6.000 anos atrás, foi observada, com um tamanho médio de 131,37mm. Desejamos aferir a validade da teoria proposta, ou seja, verificar se no passado o tamanho médio dos crânios era de fato menor. Para isso, queremos testar contra, admitindo que o desvio padrão não é afetado pela passagem do tempo.

(c) Calcule o p-valor desse teste, explicitando o seu significado

Em uma linha de produção, o engenheiro responsável pelo controle de qualidade deseja estimar a proporção de itens defeituosos produzidos. Para isso, seleciona aleatoriamente uma amostra de 50 itens, observando 4 itens defeituosos. Historicamente, mesmo em ocasiões de descontrole na linha de produção, a proporção de itens defeituosos jamais superou 15% e o engenheiro acredita que esse limiar continue a valer.

(c) Com base nos resultados experimentais calcule o p-valor correspondente ao teste da hipótese de que a proporção de itens defeituosos não supera 7% contra a alternativa de que supera 7%.

O atual tempo de travessia de barcas entre Rio de Janeiro e Niterói é considerado uma variável aleatória com distribuição Normal de média 15 minutos e desvio padrão de 3 minutos. Uma nova barca da empresa concorrente MSC Barcas vai entrar em operação e os responsáveis garantem que será mais rápida que as anteriores. Teste a hipótese de que o tempo médio de travessia é igual ou superior a 15 minutos versus a alternativa de que ele é inferior a 15 minutos.

(a) Para uma amostra de 20 tempos de travessia com a nova barca, obteve-se um tempo médio de 14,5 minutos. Obtenha a região crítica (ou região de rejeição) do teste considerando um nível de 5%. Tome sua decisão.

(b) Obtenha o p-valor do teste. O resultado está coerente com a conclusão do item (a)? Justifique.

(c) Calcule a probabilidade do erro tipo II, se a nova barca gasta, em média, 2 minutos a menos que as anteriores para completar a travessia.