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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 19

Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson p{x; //) = e~f( ffh à para x = 0, 1 , 2, ... Mostre que a

função geradora de momentos é Usando MÁt)> determine a média e a variância da distribuição de Poisson.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Encontre a função geradora de momento de uma variável aleatória de Poisson.

M X ( t ) = E e t x   = ∑ x = 0 ∞     e t x P ( x , μ )   = ∑ x = 0 ∞     e t x e - μ μ x x !   = e - μ ∑ x = 0 ∞     e t x μ x x !   = e - μ ∑ x = 0 ∞     μ e t x x !   = e - μ e μ e t   = e μ e t - 1

Assim, a função geradora do momento X de é, M X ( t ) = e μ e t - 1 .

Passo 2

Encontre a média da distribuição de Poisson.

μ   = M X ( t ) μ '   = d d t M X ( 0 )   (   Desde que   , t = 0 )   = μ e μ e ' - 1 + t t = o   = μ ( 1 )   = μ

Assim, a média requerida da distribuição de Poisson é, Média = μ .

Passo 3

Encontre o segundo momento da distribuição de Poisson

μ 2 '   = M X ' ( t )   = d 2 M X ( 0 ) d t 2   (  Put  t = 0 )   = μ e μ e ' - 1 + t μ e t + 1 t = 0   = μ 2 + μ   = μ ( μ + 1 )

Passo 4

Agora, encontre a variância da distribuição de Poisson.

  Variância    = μ 2 - ( μ ) 2   = μ ( μ + 1 ) - μ 2   = μ 2 + μ - μ 2   = μ

Assim, a variância requerida da distribuição de Poisson é, Variância = μ

Resposta

Resposta nos passos.

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