Para verificar se duas populações têm a mesma média, amostras independentes foram retiradas. Sabendo que a população I é Normal ( μ 1 ; 25 )   e a população I I   Normal com μ 2 ; 40 , que conclusão pode ser tirada, ao nível de 2%? Os valores obtidos foram:

Passo 1

Fala Zezé, bora fazer mais um teste de média?! Dessa vez note que o enunciado já nos deu as variâncias populacionais:

σ 1 2 = 25     e     σ 2 2 = 40

Portanto, deveremos realizar o teste para a média de duas populações com variâncias populacionais conhecidas e diferentes, para isso usamos a seguinte aproximação pela normal padrão:

Z = X - 1 - X - 2 - μ 1 - μ 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ~ N 0,1

Você já deve ter percebido que vamos precisar encontrar a média amostral, vamos lá então:

X - 1 = ∑ i = 1 n 1 x i n 1 = 112 8 = 14

E

X - 2 = ∑ i = 1 n 2 x i n 2 = 15,5  

Passo 2

Agora, vamos definir quem serão nossas hipóteses:

H 0 : μ 1 - μ 2 = 0         c o n t r a         H 1 : μ 1 - μ 2 ≠ 0

Um último passo antes de realizar o teste, precisamos definir nossa região crítica:

R C = z 0 ∈ R   z 0 < - z α 2     o u     z 0 > z α 2 }  

Trata-se de uma RC bilateral, certo? Isso acontece porque nossa hipótese alternativa apresenta o sinal de ; então temos que sempre prestar atenção nela.

Voce deve se lembrar também que a tabela de distribuição Normal nos da valores para os quais:

P Z ≤ - z = P Z ≥ z = α 2

Lembra? Isso ocorre porque o gráfico apresenta simetria.

Mas então precisamos buscar na tabela um valor z α 2 , tal que:

P Z ≥ z 0,01 = 0,01  

Mas não se esqueça de que a tabela nos fornece valores de:

P 0 ≤ Z ≤ z 0,01

Portanto,

P 0 ≤ Z ≤ z 0,01 = 0,5 - 0,01 = 0,49

Vamos ter de buscar no corpo da tabela um valor próximo de 0,49:

Ou seja, encontramos:

P 0 ≤ Z ≤ 2,32 ≅ 0,49

Então:

P Z ≥ 2,32 ≅ 0,01

Isso nos deixa com uma região crítica com a seguinte forma:

R C = z 0 ≤ - 2,32     o u     z 0 ≥ 2,32

Passo 3

Bem tranquilo, né?! Agora só falta realizar o teste, lembrando que a gente sempre realiza o teste “sob” H 0 , porque é ele quem apresenta o sinal de igual e então podemos substituir:

z 0 = 14 - 15,5 - 0 25 + 40 8 ≅ - 0,53

Perceba então que z 0 = - 0,53 não pertence à nossa região crítica; devemos portanto aceitar H 0 .

Resposta

Concluímos que existem evidências de que as médias das duas populações sejam iguais.

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