Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 5
A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas de uma certa marca é Por similaridade com outros processos de fabricação, supomos o desvio padrão igual a Utilizando , desejamos testar se a duração média de todas as lâmpadas dessa marca é igual ou diferente de Qual é a conclusão? Determine também a probabilidade de erro tipo , se a média fosse
Passo 1
Primeiro vamos definir de quem se trata a variável:
Supondo que tenhamos uma população com distribuição normal.
Do enunciado:
Então só precisamos fazer um teste para a média; vamos utilizar a seguinte aproximação:
Vamos realizar o seguinte teste de hipótese tomando um nível de significância de :
Passo 2
Agora, vamos definir uma região crítica:
Vamos buscar na tabela de distribuição normal um valor para
Lembrando que o gráfico da normal é simétrico(implica cada metade como tendo 0,5), temos o seguinte:
Ou seja:
Então encontramos o seguinte:
Portanto nossa RC assume a seguinte forma:
Ou, usando a aproximação mostrada no Passo 1(isolando :
Realizando o teste sob
Claramente não pertence à região crítica, então não devemos rejeitar ; e concluímos que existem evidencias de que a vida média das lâmpadas é igual a
Passo 3
Agora, supondo , e lembrando que o erro tipo é a chance de aceitarmos , sendo essa uma hipótese falsa; em outras palavras:
Então:
Precisamos buscar na tabela:
Obtemos o seguinte:
Portanto:
Resposta
Concluímos então que existem evidências de que a duração média das lâmpadas seja igual à .
E a chance de dizermos que a média é (não rejeitar ), quando na verdade essa hipótese é falsa, é algo em torno de .