Teste de Hipóteses para comparação entre Médias Populacionais com σ Desconhecidos
Produzido por Jorge Alberto NascimentoTeoria
2º caso: Variâncias populacionais desconhecidas
Agora vamos ter muita calma! Dentro do caso de variâncias populacionais desconhecidas, vamos ter muitos sub-casos. Eles vão ser:
- e desconhecidas e as amostras são maiores ou iguais a .
- e desconhecidas e as amostras são menores que . Nesse caso, vamos ter duas situações:
- Quando .
- Quando .
Vamos ver cada um separadamente.
2.1) e desconhecidas e .
A única diferença desse caso para o caso com variância populacional conhecida vai ser a fórmula da estatística de teste. Quando as variâncias populacionais forem desconhecidas mas as amostras forem maiores que , vamos usar:
Ou seja, a única diferença é que agora vamos usar as variâncias amostrais no lugar das populacionais . A padronização continua sendo a da Normal por que as amostras são suficientemente grandes! Para o resto do teste, seguimos o mesmo passo-a-passo feito anteriormente.
2.2) e desconhecidas, e .
Vamos ver esse caso num exemplo:
“Dois catalisadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento médio de um processo químico. O catalisador 1 está corretamente em uso, mas o catalisador 2 é aceitável. Uma vez que o catalisador 2 é mais barato, ele deve ser adotado, desde que ele não mude o rendimento do processo. São coletados dados relativos a observações de cada catalizador e os resultados são:
Há alguma diferença entre os rendimentos médios? Use e considere que as variâncias populacionais são desconhecidas, mas iguais.”
1º Passo)
Definir nossas hipóteses:
Já que queremos testar se existe diferença entre as médias, essas seriam nossas hipóteses.
2º Passo)
Calcular a estatística de teste, que agora seria dada por:
Agora vamos passar a usar a padronização T de Student ao invés da Normal, já que estamos num caso de amostras pequenas.
E quem é esse ? Como nossas variâncias populacionais tem valores iguais, apesar de virem de populações diferentes, parece razoável combinar as duas, certo?! Essa combinação é calculada por:
No nosso exemplo, teríamos então:
Então nossa estatística de teste é calculada por:
3º Passo)
E agora, seguindo nossa ordem de seeempre, procuramos os pontos críticos! Vamos ver quais serão eles para cada tipo de teste.
Teste Bilateral
Onde o grau de liberdade . Para o nosso exemplo terímos então:
E como ...
Procurando esses pontos na tabela temos que:
Como nossa estatística de teste , ela cai fora da região crítica:
Então nós não rejeitamos a hipótese nula, e podemos dizer que não existem diferenças entre os rendimentos médios dos catalisadores. Vamos ver agora quais seriam os pontos críticos para os outros tipos de testes.
Teste unilateral inferior
Como estamos no caso INFERIOR, tudo que for MENOR que , será região crítica.
Teste unilateral superior
Como estamos no caso SUPERIOR, tudo que for MAIOR que , será região crítica.
Vamos agora ao último caso!
2.3) e desconhecidas, e .
Vamos ver o caso resolvendo um exemplo:
“Um artigo num jornal científico publicou as concentrações de arsênio, em partes por bilhão, na água potável consumina em comunidades de uma região rural, e de outras comunidades da região metropolitana. Foram encontrados os reguintes resultados sobre as duas regiões:
Desejamos determinar se há alguma diferença nas concentrações médias de arsênio entre as comunidades. Teste essa hipótese a um . É improvável que as regiões tenham a mesma variância populacional.”
1º Passo)
Definir nossas hipóteses:
Já que queremos testar se existe diferença entre as médias, essas seriam nossas hipóteses.
2º Passo)
Calcular a estatística de teste, que agora seria dada por:
Agora nossas variâncias amostrais estão entrando separadas aí dentro, reparou? Não temos mais o .
Então nossa estatística de teste é calculada por:
3º Passo)
E por fim, calculamos os famosos pontos críticos. Eles vão ser calculados da mesma forma que para o caso com variâncias iguais, a diferença vai ser o cálculo do grau de liberdade . Vamos ver como fica issaê então!
Estamos em outro teste bilateral, então queremos os pontos:
Porém, como foi dito, agora nosso grau de liberdade é calculado de outra forma, por uma fórmula bem feia inclusive, não se assusta...
Credo, né? Concordo, mas fazer o que... Substituindo os valores do enunciado aí, temos:
Seeeeempre vamos arredondar esse grau de liberdade para BAIXO, para sermos mais conservativos e porque precisamos de um número inteiro como para usar a tabela T.
Então nossos pontos críticos, lembrando que , são...
Procurando na tabela:
Então nosso cai dentro da região crítica:
O que significa que rejeitamos a hipótese nula, ou seja, não podemos afirmar que as médias das concentrações são iguais!
Resumindo:
- Se o tamanho da amostra é grande o suficiente, não importa se as variâncias são iguais ou não, fazemos o teste do mesmo jeito que fazíamos para o caso em que as variâncias são conhecidas. Porém, para calcular a estatística de teste, usamos as variâncias amostrais no lugar das populacionais.
- Se a amostra não for grande, usamos a padronização T de Student. Se as variâncias forem iguais, usamos o grau de liberdade tradicional que sempre vinhamos usando. Se as variâncias forem desiguais, usamos aquela fórmula feiosa para o graus de liberdade.