Teste de Hipóteses para Média Populacional com σ Desconhecido

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Teoria

Meu amigo, no tópico anterior eu te ensinei a resolver um teste de hipótese para média quando o desvio-padrão populacional era conhecido, lembra?

Mas, e se a gente não tivesse nosso σ ? Ou seja, se ele fosse desconhecido, o que a gente faria?

Cara, aqui vamos ter dois casos, e eu preciso que você tenha bastante atenção nisso.

Caso 1) Quando nosso σ for desconhecido, mas o tamanho da nossa amostra for maior ou igual a 30 ( n ≥ 30 ) .

Caso 2) Quando nosso σ for desconhecido, mas o tamanho da nossa amostra for menor que 30 ( n < 30 ) .

Vamos aprender a resolver esses dois casos?

Vou te ensinar o passo a passo com exemplos, que assim você já fica craque no assunto! Vamo lá?!

Caso 1: n 30

“Um fabricante afirma que seus suplementos não contêm mais do que 30 m g de sódio. Uma amostra de 35 potes de suplemento fornece, em média, 31,4 m g de sódio e desvio-padrão de 3 m g . Sendo o nível de significância de 5 % , os dados refutam ou não a afirmação do fabricante?”

Passo) Cara, o primeiro passo vai ser sempre começar vendo quem é nosso parâmetro.

Lendo bem o enunciado, a gente percebe que esse fabricante tá falando sobre a média de sódio nos suplementos, ou seja, nosso parâmetro é o μ .

Depois disso, vamos escrever quais são nossas hipóteses:

H 0 :   μ = 30 m g H 1 :   μ > 30 m g

O enunciado fala que a quantidade de sódio nos suplementos não é maior do que 30 m g , então nossa hipótese nula ( H 0 ) vai conter essa igualdade.

Como a hipótese alternativa ( H 1 ) precisa contrariar H 0 , e precisamos testar se a quantidade de sódio é maior do que a informada pelo fabricante, vamos considerar então média maior que 30 m g .

Estamos em um teste de hipótese unilateral superior!

Passo) Calcular nossa estatística de teste.

Cara, apesar estarmos em um caso de média com desvio-padrão desconhecido, a gente pode considerar que estamos num caso de distribuição normal! Isso acontece lááá pelo nosso querido Teorema Central do Limite, já que temos um n ≥ 30 .

Nossa estatística de teste vai ser basicamente a mesma do caso com DP conhecido, porém vamos trocar o desvio-padrão populacional ( σ ) pelo amostral ( s ) !

Z t e s t e = X - - μ s n

Vamos substituir com os valores do enunciado?

Z t e s t e = X - - μ s n = 31,4 - 30 3 35 = 2,76

Guarda esse valor, ele é precioso! E claro, vem comigo pro próximo passo.

3º Passo) Agora precisamos descobrir qual é nossa região crítica.

Só relembrando: a região crítica é a região onde rejeitamos H 0 .

Cara, nossa região crítica vai seguir o mesmo passo a passo que fazíamos com σ conhecido.

Estamos num caso unilateral superior, logo, temos que encontrar z 1 - α .

z 1 - 0,05 = z 0,95

z 0,95 = 1,65

Vamos ver como isso fica no nosso desenho? Lembrando que estamos num caso da distribuição normal, então podemos trabalhar com a nossa querida curvinha.

Essa dica é bem valiosa, hein: sempre faça o desenho!

Passo) Olhar onde o valor da estatística de teste está no desenho.

Cara, aqui vamos ver se nosso Z t e s t e está dentro ou fora da região crítica.

Opa! Nossa estatística de teste está dentro da região crítica. E a região crítica é onde rejeitamos H 0 !

Passo) Tomar a decisão

Cara, como nosso valor de Z t e s t e caiu dentro da região crítica, rejeitamos nossa hipótese nula ( H 0 ) !

Ou seja, a média de sódio dos suplementos é realmente maior do que 30 m g . Logo, os dados refutam a afirmação do fabricante.

Até aqui não tivemos muitas mudanças, certo?!

Vamos ver o outro caso!

Caso 2: n < 30

“Um trecho de uma rodoviária estadual, quando é utilizado o radar, são verificadas em média 7 infrações diárias por excesso de velocidade. O chefe de polícia acredita que este número pode ter aumentado. Para verificar isso, o radar foi mantido por 10 dias consecutivos. Os resultados foram:

8 ,   9 ,   5 ,   7 ,   8 ,   12 ,   6 ,   9 ,   6 ,   10

Os dados trazem evidência de aumento nas infrações? Considere α = 5 %

Passo) Cara, vamos sempre começar vendo quem é nosso parâmetro.

Lendo o enunciado, a gente percebe que ele tá falando sobre a média de infrações diárias, ou seja, nosso parâmetro é o μ .

Depois disso, vamos escrever quais são nossas hipóteses:

H 0 :   μ = 7 H 1 :   μ > 7

O enunciado fala que a média diária de infrações era 7 , então nossa hipótese nula ( H 0 ) vai conter essa igualdade.

Como a hipótese alternativa ( H 1 ) precisa contrariar H 0 , e o cara quer testar se a média de infrações aumentou, vamos considerar então média maior que 7 infrações.

Estamos em um teste de hipótese unilateral superior!

Passo) Calcular nossa estatística de teste.

Cara, é aqui que vamos começar a notar algumas mudanças. Por ter um n < 30 , não podemos utilizar a distribuição normal.

Mas relaxa, temos uma outra distribuição muito parecida que vai nos ajudar a resolver nosso problema: a t-student!

O cálculo da nossa estatística de teste vai ser o mesmo do caso anterior, porém vamos trocar o seu nome!

T t e s t e = X - - μ s n

Nem sempre o professor vai ser bonzinho com você, e nesse caso ele não te deu a média e o desvio-padrão amostral. Teríamos que calcular com os dados que ele deu. Mas sem problemas, vamos lá!

X - = 8 + 9 + 5 + … + 10 10 = 8

Também calculei o desvio-padrão da amostra pra você:

s = 2,1

Agora vamos substituir os valores e descobrir nosso valor de T .

T t e s t e = X - - μ s n = 8 - 7 2,1 10 = 1,5

Guarda esse valor, ele é precioso! E claro, vem comigo pro próximo passo.

3º Passo) Agora precisamos descobrir qual é nossa região crítica, a região onde rejeitamos   H 0 .

Aqui também vamos ter algumas mudanças, então presta bastante atenção, hein!

Como estamos nessa nova distribuição chamada t-student, teremos uma nova tabela também, bem parecida com a que tínhamos na normal.

Vou analisar cada um dos tipos de teste de hipótese pra você entender direitinho como buscar o valor na tabela.

Unilateral inferior

Aqui, o nosso ponto crítico vai ser dado por esse carinha aqui:

- t α ; v

Masoquê isso?! Calma, jovem gafanhoto, aqui não tem mistério também!

Esse v é o que chamamos de graus de liberdade, e ele vale:

v = n - 1

Ou seja, vai ser sempre o tamanho da amostra menos um.

Nesse nosso exemplo, como temos α = 0,05 e n = 10 , teríamos o seguinte:

- t 0,05 ; 9

E a gente vai buscar esse valor na nossa mais nova tabelinha!

- t 0,05 ; 9 = - 1,833

Sem mistérios, viu? Basta cruzar a linha dos graus de liberdade ( v ) com a coluna do nível de significância ( α ) .

Lembrando que essa tabela aí tem α como parâmetro! Se a sua tabela tiver p como parâmetro, você procuraria por 1 - 0,05 = 0,95 na primeira linha.

Unilateral Superior

Aqui nosso ponto crítico vai ser bem parecido com o de cima, só que com o sinal oposto!

Vamos ter que procurar o t α ; v .

Bilateral

No caso bilateral, vamos ter dois pontos críticos.

Nossos pontos críticos vão ser os seguintes:

t α 2 , v

- t α 2 , v

Não esquece de dividir o α por dois, por favor! E o resto do procedimento é o mesmo dos anteriores.

Bom, voltando pro nosso exemplo...

Vamos descobrir nosso ponto crítico, lembrando que estamos num caso unilateral superior:

t α ; v = t 0,05 ; 9 = 1,833

Vamos ver como isso fica no nosso desenho? A t-student tem praticamente o mesmo formato da normal, então sem estresse aqui! E não precisa se preocupar, seu professor não vai descontar ponto por achar que você desenhou uma normal, haha.

Essa dica é bem valiosa, hein: sempre faça o desenho!

Passo) Olhar onde o valor da estatística de teste está no desenho.

Cara, aqui vamos ver se nosso T t e s t e está dentro ou fora da região crítica.

Opa! Nossa estatística de teste está fora da região crítica. Ou seja, ele está na região de aceitação, onde não rejeitamos H 0 !

Passo) Tomar a decisão

Cara, como nosso valor de T t e s t e caiu fora da região crítica, não rejeitamos nossa hipótese nula ( H 0 ) !

Ou seja, não houve aumento significativo no número de infrações.

Viu, falei que não era difícil! O passo a passo é o mesmo, só mudando alguns pequenos detalhes. A gente se vê nos exercícios?!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O tempo de duração de um procedimento industrial é de interesse para o fabricante. Uma amostra aleatória de oito procedimentos forneceu x ¯ = 133   m i n e s = 19,3   m i n . Há alguma evidência de que o tempo médio do procedimento seja de 125 minutos? α = 5 % .

Passo 1

Bom, temos hipóteses sobre a duração de um procedimento industrial.

Queremos testar a hipótese de que a média é de 125   m i n .

Com isso, vamos cair naquele primeiro caso:

H 0 : μ = 125   m i n

H 1 : μ ≠ 125   m i n

O nível de significância é α = 0,05 .

Passo 2

Como não conhecemos o valor de σ , e sim o de s , vamos usar a estatística de teste:

T = x ¯ - μ 0 s n

T = 133 - 125 19,3 8

T ≅ 1,17

Passo 3

Para esse caso de teste, a região de rejeição é:

T < t α 2     o u     T > t 1 - α 2

Bom, α = 0,05 , vamos ter então:

T < t 0,025     o u     T > t 0,975

Usando a tabela t   d e   s t u d e n t com 7   graus de liberdade, já que n = 8 .

t 0,975 = 2,365

t 0,025 = - t 0,975 = - 2,365

Então a região crítica ou de rejeição seria:

T < - 2,365     o u     T > 2,365

A estatística de teste que a gente tem é de:

T = 1,17

Com isso, estamos fora da região crítica, isso significa que não há nenhuma evidência contra a afirmação da média ser de 125   m i n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

Sergio afirma que Raquel dirige seu carro na estrada a uma velocidade média superior a 100 k m / h , enquanto Raquel discorda, afirmando dirigir na estrada a uma velocidade média menor ou igual a 100 k m / h . Para dirimir essa controvérsia, Sergio resolve cronometrar o tempo (em minutos) que ela gasta ao volante em 10 viagens, sempre pelo mesmo percurso que liga duas cidades 120   km distantes:

73     68     73     61     70     78     63     64     74     62

  1. Quem parece ter razão, ao nível de significância 5%?

Passo 1

(a)

Primeiro vamos definir as hipóteses:

H 0 :   μ ≤ 100   Raquel

H 1 :   μ > 100   Sergio

Temos que α = 0,05 .

Na nossa amostra temos n = 10 . Não conhecemos o valor do desvio padrão populacional, isso é um sinal de que teremos que calcular o amostra s e usar t   d e   s t u d e n t .

Passo 2

A nossa estatística de teste será:

T o b s = x ¯ - 100 s 10

E o critério para a região de rejeição será:

T o b s > t 1 - α

T o b s > t 0,95

Usando a tabela de t   d e   s t u d e n t e levando em consideração que temos 10 - 1 = 9 graus de liberdade.

T o b s > 1,83

Passo 3

Só que para calcular x ¯ e s precisamos antes passar tudo para velocidade, que é sobre o que a questão trata. Foram dados os tempos e a distância, então vamos usar a seguinte fórmula:

velocidade  km h = 120   km tempo minuto × 60 min h

Os resultados obtidos em km h são:

98,63     105,88     98,63     118,03     102,86     92,31     114,29     112,50     97,30     116,13

Passo 4

Com base nesses dados a gente pode calcular agora x ¯ e s , usando as fórmulas lá do início da matéria. Vou colocar os resultados direto:

x ¯ = 105,66

s = 9,06

Com isso, temos:

T obs = 105,66 - 100 9,06 10 = 1,97

Observando o critério da região de rejeição, como 1,97 > 1,83 então isso implica que H 0 deve ser rejeitada. Ou seja, Sergio parece ter razão.

Resposta

a   rejeitar   H 0

Exercício Resolvido #3

Suponha que os tempos de vida, em horas, de certos semicondutores a laser sejam Normalmente distribuidos com média μ e variância σ 2 .

Para testar H 0 :     μ   ≤ 7000 versus H 1 :   μ   > 7000 , uma amostra aleatória de tamanho 25 foi

observada e apresentou os seguintes resultados:

∑ x i = 179500 , ∑ x i - x - 2 = 8640000 .

  1. Qual a sua conclusão, ao nível de significância de 1%?

Passo 1

(a)

Nessa opção a gente vai ter que fazer o teste de hipótese pra esse caso aí com α = 0,01 .

Repara que nesse caso a gente não conhece o valor de σ então teremos algumas diferenças na conta.

Inicialmente, a gente tem:

H 0 :   μ ≤ 7000

H 1 :   μ > 7000

A nossa estatística de teste vai ser diferente né, porque não temos σ :

T = x ¯ - μ 0 s n

E vamos usar a distribuição t   d e   s t u d e n t com 24 graus de liberdade, já que n = 25 .

Passo 2

Se liga que esse caso é igual o caso 2 da nossa teoria de teste para média populacional. Para esses casos, a região de rejeição é definida por:

T o b s > t 1 - α

T o b s > t 0,99

Sabendo que são 24 graus de liberdade, usando a tabela de t   d e   s t u d e n t :

T o b s > 2 , 797

Passo 3

Só que pra calcular o nosso T o b s a gente tem que calcular x ¯ e s , usando os dados do exercício e as fórmulas que a gente já conhece.

Como tempo é uma coisa escassa, vou colocar os resultados aqui direto:

x ¯ = 7180

s = 600

Agora podemos calcular o T o b s :

T o b s = x ¯ - μ 0 s n

T o b s = 7180 - 7000 600 25 = 1,5

Como 1,5 < 2 , 797 , então estamos dentro da região de aceitação de H 0 .

Resposta

a   A c e i t a r   H 0

Exercício Resolvido #4

Um fabricante de cabos afirma que: “o diâmetro médio dos cabos produzidos pela sua empresa é de pelo menos 5 m m ”. Para testar se esta afirmação é verdadeira, uma amostra de 25 cabos foi observada e mostrou um diâmetro médio de 4,9 m m com um desvio padrão de 0,4 m m . Suponha que os diâmetros desses cabos sigam uma distribuição Normal.

  1. Explicite as hipóteses a serem testadas e apresente a sua conclusão a um nível de significância de 5%. Justifique a sua resposta.
  2. Com base nos recursos de que você dispõe, determine o intervalo de menor amplitude no qual o p -valor se encontra.

Passo 1

(a)

Vamos fazer um teste de hipóteses para a média populacional.

H 0 :     μ ≥ 5 m m

H 1 :     μ < 5 m m

Mas nesse caso a gente não conhece o valor de σ , conhecemos somente x ¯ = 4,9 m m e s = 0,4 m m . Se liga que a gente vai ter usar t   d e   s t u d e n t   aqui.

A estatística de teste será:

T = x ¯ - μ 0 s n

Passo 2

A região crítica nesse caso é dada por:

T < t α

O exercício diz que:

α = 0,05

t 0,05 = - t 0,95 = - 1,711

Lembrando que são 24 graus de liberdade porque n = 25 .

Então:

T < - 1,711

Passo 3

Agora a gente substitui os valores na estatística de teste pra ver no que que dá.

T = x ¯ - μ 0 s n = 4,9 - 5 0,4 25

T = - 1,25

Como esse valor ( - 1,25 ) é maior que - 1,711 , então está dentro da região de aceitação. Devemos aceitar, ou pelo menos não descartar, a hipótese H 0 .

Passo 4

(b)

Calcular o p-valor.

α ~ = P T < - 1,25

Se você olhar na tabela na linha dos 24 graus de liberdade, você vai encontrar que:

P T < 0,857 = 0,8

E,

P T < 1,318 = 0,9

E o valor que a gente quer tá entre:

- 1,318 < - 1,25 < - 0,857

Isso leva a gente a:

P T < - 0,857 = 1 - 0,8 = 0,2

P T < - 1,318 = 1 - 0,9 = 0,1

Então...

0,1 < α ~ < 0,2

Resposta

a   A c e i t a r   H 0

b   0,1 < α ~ < 0,2

Exercício Resolvido #5

Uma amostra de 15 medidores de participação de manganês numa liga de ferro-manganês apresentou uma média de 84 % e desvio padrão de 13 % . Assumindo que a participação nominal da média na liga é de 80 % .

Pede-se:

  1. Teste a hipótese ao nível de significância de 5 % que a participação de manganês da amostra estudada é superior a 80 % . Mostre o resultado através de cálculo e esboce um gráfico da distribuição do teste, indicando a área de rejeição e aceitação com os resultados encontrados.

Passo 1

(a)

A gente tem uma amostra com n = 15 elementos com:

x ¯ = 84 %     e     s = 13 %

E vamos fazer um teste de hipótese para a média de participação do manganês na liga.

Primeiro a gente tem que determinar as hipóteses, que pelo enunciado são:

H 0 : μ 0 = 80 %

H 1 : μ 0 > 80 %

Passo 2

Vamos calcular a nossa estatística de teste...

Como a gente não conhece o desvio padrão populacional σ , vamos usar o que a gente tem... que é o amostral " s " e usar t   d e   s t u d e n t ...

T = x ¯ - μ 0 s n

= 84 - 80 13 15

T = 1,192

Passo 3

A região de rejeição pra esse tipo de teste, que se encaixa no caso 2, é:

T > t 1 - α

O α foi dado no exercício...

α = 5 % = 0,05

t 1 - α = t 0,95

Como temos n = 15 , então vamos ter 14 graus de liberdade... aí é só olhar na tabela:

t 0,95 ; 14 = 1,761

A região de rejeição é então:

T > 1,761

Passo 4

Como a nossa estatística de teste deu:

T = 1,192

E:

1,192 < 1,761

Não caímos na região critica, então, aceitamos H 0 (dentro desse nível de significância pedido né).

Olha o gráfico aí que representa essa situação...

Resposta

a   A c e i t a r   H 0

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