Distribuição Geométrica

Vamos analisar o enunciado e ver se estamos falando de alguma distribuição? Bom o enunciado diz que temos um experimento onde temos duas fatores a serem analisados:

-X: O número de tentativas

- C: O custo dos experimentos

Sabemos que iremos realizar o experimento até que o primeiro sucesso ocorra ou seja, temos uma Distribuição Geométrica certo?

Agora que já sabemos qual é o modelo vamos entender o que cada coisa é... Se tentamos até conseguir o primeiro sucesso, todas as tentativas anteriores são de fracasso (não sucesso). Ou seja, se tentamos num total de X tentativas, teremos 1 sucesso e fracassos. Considere:

- Probabilidade de Sucesso:

- Probabilidade Não Sucesso:

Juntando tudo podemos escrever:

Substituindo os valores do enunciado:

O enunciado pede o custo esperado, simbora calcular? O cálculo do custo é feito da seguinte forma:

- 5 primeiras tentativas : R$10,00 cada

- Outras tentativas: R$5,00 cada.

Assim podemos escrever que:

Agora é só substituindo e ir para as contas!

(a)

Vamos entender melhor...

Pelo enunciado, a probabilidade de eu pegar o sinal verde é de 20%.

No item (a) eu quero a probabilidade de que a primeira vez que eu pegue o sinal verde seja na quarta tentativa. Concorda comigo então que estamos fazendo repetições até obtermos sucesso?

Isso é o que?

Distribuição geométrica.

Se é a v.a. que representa o número de tentativas até o primeiro sucesso, temos que calcular

Usando a função de probabilidade da geométrica..

(b)

Pra que a luz não esteja verde dentro das 10 primeiras manhãs consecutivas, concorda que a gente tem que calcular a probabilidade de a gente só encontrar ela verde na décima primeira manhã pela primeira vez?

Vamos usar a mesma fórmula de novo... só que agora pra .

(a)

O exercício pede pra gente calcular a probabilidade do primeiro sucesso (reclamação sobre erro na fatura) acontecer até a segunda chamada.

Temos duas situações então: a primeira reclamação acontecer na primeira chamada ou a primeira reclamação acontecer na segunda chamada.

Nos dois casos, vamos usar a distribuição geométrica, concorda? Porque queremos calcular a prob. do primeiro sucesso acontecer em determinada tentativa.

A função de probabilidade da geométrica é:

A gente sabe que .

Agora é só a gente aplicar pras duas situações: na primeira e na segunda que é o número da tentativa em que acontece o primeiro sucesso.

A probabilidade que a gente quer é a soma das duas.

(b)

Pro caso de uma distribuição geométrica a gente já conhece a fórmula da média e da variância.

A variância é:

O desvio padrão a gente sabe que é a raiz quadrada da variância, né? Tranquilo então..

E pra fechar o coeficiente de variação (CV pros íntimos).

Opa, temos um experimento que vai parar de ser repetido assim que acontecer o primeiro sucesso, ou seja, uma distribuição Geométrica! Nosso sucesso aqui seria o aparecimento da cara.

Mas toma muito cuidado aí para não cair na pegadinha, se liga só!

O enunciado diz para a gente que é a variável aleatória que conta o número de coroas obtidas no experimento, antes de se obter o sucesso, que seria a cara, certo?

Imagina que você lançou a moeda 4 vezes até obter a cara, ou seja, você obteve:

{Coroa, Coroa, Coroa, Cara}

Nesse caso, nossa variável aleatória assumiria o valor , mas o número de tentativas até se obter o sucesso seria 4, afinal foi necessário lançar a moeda quatro vezes até se obter a cara.

Vamos chamar esse número de tentativas até obter o sucesso de Repara então que:

Isso é o mesmo que falar que a quantidade de vezes que se lança a moeda até obter o sucesso é igual a quantidade de vezes que se obteve coroa mais uma tentativa.

E por que eu fiz tudo isso??

Por que essa variável ela parece que segue a distribuição geométrica, mas não segue não. Quem de fato segue a distribuição geométrica é a variável aleatória , pois é ela que contabiliza o número de tentativas até se obter o sucesso (que é obter a primeira cara).

Com isso, teremos:

Para calcular a probabilidade pedida temos que trocar a nossa variável aleatória:

E tem que se ligar que:

Já que entre maior ou igual a e menor que 5, temos o 3 e o 4. Agora temos que lembrar da função da Geométrica:

Substituindo a função para o nosso cálculo:

Opa, falou de repetição até obter um sucesso (reação positiva) já sabemos que ta falando da geométrica né?

Se liga, o exercício quer menos de 5 reações negativas antes da primeira positiva. Ou seja, ele quer no máximo 4 fracassos antes do primeiro sucesso!

Então nesse caso podemos ter o primeiro sucesso na 1ª, 2ª, 3ª, 4ª ou 5ª reação! Todos esses casos respeitam o que ele pediu! Traduzindo isso pra nossa querida geométrica:

No nosso problema que é a probabilidade do nosso sucesso (reação positiva). E como pode ser de até , o que nós queremos é:

E isso aí é a mesma coisa que:

Então agora podemos usar a fórmula da distribuição pra essa galera toda: