Distribuição Pascal
Teoria
DISTRIBUIÇÃO PASCAL
Pascal, Pascal, Pascal... cansado de ouvir esse nome na vida? Essa galera que não tirava férias, não curtia um carnaval, complicado! :D
Vem comigo, sem medo de ser feliz!
Adivinha quem você tem que considerar novamente? Uma sequência de eventos Bernoulli.
Exemplo: Um jogador de basquete arremessando um lance livre.
Quero saber a probabilidade do jogador ter seu segundo acerto na quinta tentativa?
Em casos como esse a nossa v.a. representará o n° de tentativas para acontecer o r-ésimo sucesso. E seguirá a distribuição Pascal.
Foca em mim agora!
Para o r-ésimo sucesso ocorrer na k-ésima tentativa é porque já houve sucessos e fracassos entre as primeiras tentativas. Existem maneiras disso acontecer
Que isso, falei bonito! Mas sério, é essencial você entender isso!
No nosso exemplo ficaria... “Para o segundo sucesso ocorrer na quinta tentativa é porque já houve 1 sucesso e 3 fracassos entre as primeiras 4 tentativas”
Sussa ? Só substitui os valores de e .
Continuando...
A probabilidade da gente ter sucessos e fracassos é:
Concluindo, a função de probabilidade da v.a. será:
Voltando ao exemplo: Pra resolvermos, substituímos e .
Como sempre o essencial é saber quando usar a distribuição, o resto é aplicar fórmula. Pascal a gente vai usar quando tiver relacionando número de tentativas com número de sucessos.
Ah, bom saber também que em Pascal...
Sucesso, nos exercícios melhora! Partiu...
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UERJ-lista 2 prof Fabiano-12 - (c)
Cada amostra de água tem 10% de chance de conter um particular poluente orgânico. Suponha que as amostras são independentes com relação à presença do poluente. Encontre a probabilidade de que tenhamos que examinar 10 amostras até que se encontre a terceira com poluente.
Passo 1
Se liga! Estamos relacionando um número de tentativas (10 no caso) com um r-ésimo sucesso (3), correto?
Isso que dizer que se trata de uma distribuição Pascal.
A função de probabilidade da Pascal é:
Onde:
Passo 2
Agora é só substituir os valores:
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFF- 2ª VE-1
O presidente de uma grande corporação toma decisões jogando dardos em um quadro. A seção central é marcada com “sim”, e representa um sucesso. A probabilidade de que ele acerte um “sim” é . O presidente continua a jogar até que faça três acertos. A regra de decisão do presidente é simples: se ele faz três acertos no máximo até a quinta jogada, ele decide favoravelmente à questão.
- Calcule a probabilidade de que ele decida favoravelmente?
- Determine o valor esperado. Qual o seu significado no contexto do problema?
Passo 1
(a)
Pra ele decidir favoravelmente, ele tem que fazer acertos em no máximo tentativas.
Quando a gente quer relacionar número de tentativas com número de acertos a gente usa a distribuição Pascal, que tem a seguinte função:
número de tentativas.
número de acertos.
A gente sabe também que a probabilidade de sucesso é .
Passo 2
Pra ele ser favorável então, a gente tem situações. Ele pode acertar acertos em tentativas .
Pode acertar em tentativas e .
Ou pode acertar em tentativas (que é o máximo) e .
A probabilidade total dele ser favorável é então:
Passo 3
(b)
Para uma distribuição Pascal, é dado pela fórmula:
Que é o valor esperado de tentativas para que ele alcance o terceiro sucesso.
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFF – Probabilidade e Estatística - Prova 2 – Questão 01
No Callcenter de uma empresa distribuidora de telefonia, apenas das chamadas são relacionadas a reclamações sobre erros nas faturas emitidas pela empresa. Pede-se:
a) qual seria a probabilidade de ocorrer a segunda reclamação da conta na sétima chamada.
Passo 1
(a)
Pera que agora já não estamos falando de “primeiro sucesso”. Agora a gente tem que calcular a probabilidade do segundo sucesso (segunda reclamação) vir na sétima tentativa (sétima ligação). Tá lembrado qual distribuição que vai ajudar a gente agora?
Se você pensou em Pascal ou Binomial Negativa, avance para a próxima casa.. porque é isso mesmo que a gente vai fazer.
A função de probabilidade da Pascal é:
Lembrando que é o número de tentativas pra gente alcançar o sucesso de número .
Então nesse caso do exercício... e .
Passo 2
Agora é só calcular, sendo que continua sendo , nada mudou.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Um jogador de basquete acerta 70% dos seus arremessos livres. Durante uma partida, qual é a probabilidade que o jogador acerte seu terceiro arremesso livre no seu quinto arremesso?
Passo 1
Queremos “acumular” três sucessos (três arremessos livres) em cinco tentativas totais, certo? Então isso aí é uma distribuição Pascal!
E quem vão ser nossos parâmetros:
Passo 2
Substituindo isso tudo na fórmula da distribução Pascal, temos:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Moodle - UFSC
Considere o tempo para recarregar o flash de uma câmera de celular. Assuma que a probabilidade de que uma câmera instalada no celular durante sua montagem passe no teste é de , e que cada câmera tem seu desempenho independente.
Qual é a probabilidade de que a segunda falha ocorra no teste de quatro ou menos câmeras?
Passo 1
Pensa comigo, aqui nós vamos testar várias câmeras aleatórias, que tem de chance de não falharem. E nós queremos que a segunda falha entre as câmeras testes ocorra no máximo na quarta tentativa. Isso é uma Distribuição Pascal, certo? Queremos que um certo número de sucessos (falha da câmera) aconteça depois de um certo número de experimentos! A fórmula da Pascal é:
Denotando o número de tentativas que vamos ter por , qual a nossa probabilidade de sucesso? Estamos tratando o sucesso aqui como a câmera falhar, então:
Passo 2
Para calcular a probabilidade da segunda falha aconteça no máximo na quarta tentativa, procuramos por:
Que é igual a:
Opa, por que não tem ? Porque não tem como uma segunda falha acontecer na primeira tentativa! Aplicando a fórmula para cada uma dessas probabilidades (lembrando que , pois é o número de falhas que queremos):