Teorema Central do Limite

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala aí, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora aprender sobre Teorema Central do Limite?

O que diz o Teorema Central do Limite?

O Teorema Central do Limite (TCL), também chamado de Teorema do Limite Central, diz que a soma de N variáveis independentes (x) com mesma distribuição, se aproxima de uma distribuição normal a medida que N aumenta.

-Hãam? 😖

Pra você entender melhor, eu separei um videozinho super completo, com exemplos, exercícios de prova e muito mais! 👇

📢 Clique para ver mais:

Teorema do Limite Central: Exemplo

Seja a variável aleatória:

ã

Que pode assumir os valores . Digamos que o dado é lançado 100 vezes. Se eu plotar em um gráfico o resultado do dado, nesses 100 lançamentos, vou ter algo mais ou menos assim:

Distribuição da variável x
Distribuição da variável x

Repara que não chegamos a nada parecido com uma distribuição normal! Isso porque no teorema central do limite é a a distribuição da média amostral que se aproxima da normal. Ali, nós estamos olhando para a distribuição da variável em si. Agora vamos refazer nosso experimento!


Imagina então que agora eu tenho 2 dados, e vou lança-los 100 vezes de novo. Em cada lançamento, eu quero a média do valor dos 2 dados. Plotando o gráfico da distribuição dessa média amostral, teremos:

distribuição da média amostral
distribuição da média amostral

Nesse caso, dizemos que a amostra contém 2 valores (n=2), pois foram lançados 2 dados. O TCL só pode ser aplicado quando n≥30, que é quando a amostra é suficientemente grande. Para o caso do dado, o gráfico para a média amostral do lançamento de 30 dados seria:

distribuição da média amostral para 30 lançamentos de dado
distribuição da média amostral para 30 lançamentos de dado

Ainda mais próximo da normal! Quanto maior o n da sua amostra, mais próximo a distribuição da média amostral será da normal. O teorema do limite central diz que:


Ou seja, a média amostral segue uma normal com média igual a média populacional e desvio padrão dado por .

Agora vamos praticar com exercícios?!

Teorema do Limite Central: Exemplo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

b) Seja X 1 , X 2 , … , X n uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição N ( μ , σ 2 ) . Se Y = X 1 + X 2 + … + X n , quem é a distribuição de Y ? E da v.a. Y n .

Passo 1

Temos que ( X 1 , X 2 , … , X n ) é uma amostra aleatória de uma v.a. X ~ N ( μ , σ 2 ) , com isso todas as X i ’s tem a mesma distribuição N ( μ , σ 2 ) , beleza?

Se eu chamar Y = ∑ i = 1 n X i , pelo Teorema Central do Limite a gente diz que Y tem distribuição.

Y   ~   N o r m a l   μ y , σ y 2

Com:

μ y = n μ

σ y 2 = n σ ²

Passo 2

Agora se eu fizer Y n , é a mesma ideia, só dividir os valores que a gente viu por n .

Y n   ~   N o r m a l   μ y , σ ² y

Com:

μ y = n μ n = μ

σ y 2 = n σ ² n = σ ²

Resposta

Y   ~   N o r m a l   n μ , n σ ²

Y n   ~   N o r m a l   μ , σ ²

Exercício Resolvido #2

X 1   e X 2   representam os valores (em reais) que as ações A1 e A2, respectivamente, terão daqui a um ano. Como sabemos, o comportamento caótico da bolsa de valores implica que X 1   e X 2 podem ser considerados aleatórios. Suponha, mais especificamente, que:

  1. X 1 é modelada por uma distribuição Normal com média de 30 reais e variância de 100 reais²;
  2. X 2 é modelada por uma distribuição Normal com média de 60 reais e variância de 400 reais²; e
  3. as cotações dessas duas ações são independentes.

Um investidor comprou hoje 300 ações A1 a 25 reais cada uma, e 200 ações A2 a 40 reais cada uma.

  1. Quais são a distribuição, a esperança e o desvio padrão do valor total que a carteira de ações deste investidor terá dentro de um ano?
  2. Qual é a probabilidade de que essa a carteira de ações tenha se valorizado em pelo menos 50% depois de um ano?

Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

Y :   valor total do portifólio

De acordo com o enunciado:

Y = 300 X 1 + 200 X 2

Passo 2

Calcular E ( Y ) .

E Y = E 300 X 1 + 200 X 2

E Y = 300 E X 1 + 200 E X 2

Sabendo que E X 1 = 30 e E X 2 = 60 :

E Y = 300 × 20 + 200 × 60

E Y = 21.000   reais

Passo 3

Calcular V a r Y .

V a r Y = V a r 300 X 1 + 200 X 2

V a r Y = 300 2 V a r X 1 + 200 2 V a r X 2

Sabendo que V a r X 1 = 100 e V a r X 2 = 400 .

V a r Y = 300 2 × 100 + 200 2 × 400

V a r Y = 25.000.000

Com isso.

D P Y = V a r Y

D P Y = 5.000   reais

Como Y é a soma de duas variáveis de distribuição Normal, então:

Y   ~   N o r m a l   21.000 ; 5.000 2

Passo 4

(b)

Primeiro a gente tem que saber quanto custou o portifólio no momento da compra. De acordo com o enunciado, o valor total foi:

300 × 25 + 200 × 40 = 15.500   reais

Pra acontecer valorização de pelo menos 50%. O portifólio tem que estar valendo depois de um ano o valor de:

1,5 × 15.500 = 23.250

Passo 5

Pra saber a probabilidade disso acontecer, a gente precisa calcular:

P Y ≥ 23.250

Pradronizando...

P Y ≥ 23.250 = P Y - 21.000 5.000 > 23.250 - 21.000 5.000

= P Z > 0,45

= 1 - Φ 0,45

Se procurar na tabela, você vai ver que Φ 0,45 = 0,6736 .

Então:

P Y ≥ 23.250 = 1 - 0,6736

                                          = 0,3264

Resposta

b   0,3264

Exercício Resolvido #3

Um pequeno restaurante tem uma receita diária - da qual já foi descontado o gasto com ingredientes - cuja média é de 800 reais e cujo desvio padrão é de 300 reais. A despesa mensal do restaurante com mão de obra, encargos, manutenção, etc., é da ordem de 12.000 reais.

  1. Se ele funciona na base de 25 dias por mês, qual a probabilidade de que esse negócio dê um lucro de pelo menos 7.000 reais por mês?
  2. Digamos que, em um determinado mês, o restaurante só vai ficar aberto durante 20 dias. Mas, ainda assim, deseja-se manter a meta de um lucro mínimo de 7.000 reais. Para quanto deveria aumentar a média da receita diária para que nesse mês, uma vez mantido o desvio padrão da receita diária em 300 reais, essa meta fosse atingida com probabilidade 95%?

Obs.: Admita que em ambos os casos o tamanho amostral é suficientemente grande para que seja válida a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite.

Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

X : r e c e i t a   d i á r i a

L : l u c r o   m e n s a l

A gente quer calcular P L > 7000 .

De acordo com o enunciado.

L = ∑ i = 1 25 X i - 12.000

Já que são 25 dias de funcionamento e que as despesas fixas somam 12.000.

Passo 2

Se a gente quer P L > 7000 , é o mesmo que querer.

P ∑ i = 1 25 X i - 12.000 > 7000

P ( ∑ i = 1 25 X i > 19000 )

Só que de acordo com o teorema central do limite, quando a gente tem um somatório de um número grande de v.a. com mesma distribuição podemos aproximar por uma Normal.

Com isso.

∑ i = 1 25 X i ≈ N o r m a l 25 μ , 25 σ 2

Onde:

μ = E X i = 800

σ = D P X i = 300

Passo 3

Concluindo, fazendo o processo de padronização da Normal.

P L > 7000 = P ∑ i = 1 25 X i - 25 × 800 25 × 300 2 > 19000 - 25 × 800 25 × 300 2

= P Z > 19000 - 20000 1500

= P Z > - 0,667

= P Z < 0,667    

Procurando na tabela.

P ( L > 7000 ) = 0,7475

Passo 4

(b)

Vamos ter n = 20 dias e agora E X i = μ (valor desconhecido)

A situação é bem parecida com a anterior, tirando a mudança de n . A diferença é que agora o exercício deu o valor da prob. final e quer o valor de μ referente.

P L > 7000 = 0,95

Sendo que.

P L > 7000 = P ∑ i = 1 20 X i - 12000 > 7000

= P ( ∑ i = 1 20 X i > 19000 )

Pelo teorema central do limite aproximaremos.

∑ i = 1 20 X i ≈ N o r m a l   ( 20 μ   ,   20 × 300 )

Passo 5

Concluindo, fazendo o processo de padronização da Normal.

P L > 7000 = P ( ∑ i = 1 20 X i > 19000 )

0,95 = P Z > 19000 - 20 μ 20 × 300 2

0,95 = P Z > 19000 - 20 μ 300 20

O valor da tabela que nos dá prob. de 0,95 é 1,64. Porém como estamos trabalhando com Z > … não podemos esquecer de multiplicar por - 1 .

Então, com isso.

19000 - 20 μ 300 20 = - 1,64

μ = 19000 + 1,64 × 300 20 20

μ = 1060,34   r e a i s

Resposta

a   0,7475

b   1060,34   r e a i s

Exercício Resolvido #4

Uma instituição de caridade deseja realizar uma obra que custa R $ 3500,00 em sua sede. Entre os contribuintes habituais dessa instituição, cada um pode contribuir com algo em torno de R $ 120,00   ± um desvio padrão de R $ 50,00 . Se 30 dessas pessoas se quotizarem para levantar fundos com essa finalidade, qual a probabilidade de que eles consigam o montante necessário?

Passo 1

Vamos chamar a quantia que cada contribuinte pode doar de X . Sabemos que:

E X = μ = 120

D P X = σ = 50

Mas nós estamos tratando de 30 pessoas, então vamos ter 30 quantias doadas: ( X 1 ,   X 2 ,   X 3 … X 30 ).

E os fundos levantados vão ser a soma de as 30 quantias doadas, certo? Vamos criar outra v.a. para representar a soma de todas essas doações, ou seja, a soma dos X i :

Y = ( X 1 , + X 2 , + X 3 … X 30 )

Para o montante necessário ser atingido, precisamos que todas as doações somadas resultem em pelo menos o custo da obra ( R $ 3500,00 ), então:

Y ≥ 3500

E é a probabilidade disso acontecer que temos que calcular, ou seja: P ( Y ≥ 3500 ) .

Mas qual a distribuição de Y ? Precisamos saber isso para calcular essa probabilidade. Como Y é uma soma de várias v.a’s ( n = 30 já é grande o suficiente) independentes que seguem a mesma distribuição, podemos dizer que Y vai ser aproximadamente uma distribuição Normal:

Y ~ N o r m a l ( n μ , n σ ² )

Substituindo os valores:

Y ~ N o r m a l 30 × 120 ; 30 × 50 2 → Y ~ N o r m a l 3600 ; 75000

Passo 2

Então agora podemos calcular P ( Y ≥ 3500 ) . Padronizando (já que segue uma Normal):

P Z ≥ 3500 - 3600 75000 = P Z ≥ - 0,365

Para tirar o negativo daí, invertemos o sinal de :

P Z ≥ - 0,365 = P Z ≤ 0,365

Procurando esse cara na tabela da Normal temos que...

P Z ≤ 0,365 = 0,64

Então:

P Y ≥ 3500 = 0,64

Resposta

64 %

Exercício Resolvido #5

Uma companhia de seguros emitiu apólices para 10000 pessoas, todas da mesma faixa etária. A probabilidade de morte durante um ano é de 0,006 para cada pessoa nessa faixa etária. Em um dia pré-fixado, todos os segurados depositam 12 u.m. e, se algum deles morrer dentro de 1 ano, seus beneficiários receberão 1000 u.m. da seguradora. Qual a probabilidade de que em 1 ano:

(a) A companhia tenha prejuízo?

Passo 1

Vamos representar o lucro da seguradora no ano por pessoa por L , e essa v.a. L pode assumir dois valores:

L n = 12 ,   c a s o   a   p e s s o a   n ã o   m o r r a

L m = 12 - 1000 = - 988 ,   c a s o   a   p e s s o a   m o r r a

E nós sabemos que a probabilidade de uma pessoa morrer é 0 , 006 , então:

p L m = 0,006

E de não morrer, vai ser a complementar de 0 , 006 , ou seja, 0,994 :

p L n = 0,994

Lembrando da fórmula da esperança, podemos calcular E ( L ) :

E X = ∑ p x i . x i → E L = 0,006 × - 988 + 0,994 × 12 = 6

E L = μ = 6

E pela fórmula da variância, calculamos V a r ( L ) :

V a r X = ∑ p x i . x i - E X 2

V a r L = 0,006 × - 988 2 + 0,994 × 12 ² - E X 2 = 6000 - 6 ²

V a r L = σ 2 = 5964

O lucro total vai ser dado pela soma dos lucros vindos de todas as 10000 pessoas:

L t o t a l = ∑ i = 1 10000 L i

Podemos aproximar L t o t a l a uma distribuição normal então, certo? Pelo Teorema Central do Limite! Já que são muuuitas v.a.’s com mesma distribuição e independentes somadas. Então:

L t o t a l ~ N o r m a l ( n μ , n σ 2 )

Lembrando que n = 10000 e que já calculamos μ   e   σ 2 :

L t o t a l ~ N o r m a l ( 10000 × 6,10000 × 5964 )

L t o t a l ~ N o r m a l ( 60000,59640000 )

Passo 2

Agora podemos calcular o que foi pedido. A probabilidade da companhia ter prejuízo é a probabilidade do lucro total ser menor que zero:

P ( L t o t a l < 0 )

Padronizando isso aí, já que segue uma Normal:

P Z < 0 - 60000 59640000 = P Z < - 7,77

Invertendo o sinal para tirar o negativo:

P Z > 7,77

Usando a probabilidade complementar para deixar o sinal como < (no mesmo sentido que vamos procurar na tabela):

P Z > 7,77 = 1 - P Z < 7,77

Cara, mas não tem esse valor na minha tabela, e agora??? Repara comigo que quando os valores vão crescendo, a gente se aproxima cada vez mais de uma probabilidade igual a 1 , então vamos dizer que:

P Z < 7,77 ≅ 1

Entonnn...

P Z > 7,77 = 1 - 1 = 0

Ou seja, a probabilidade da companhia ter prejuízo é praticamente zero!

Parece que esse negócio de ser companhia de seguros é vantajoso mesmo, hein...

Resposta

a p r o x i m a d a m e n t e   z e r o

Exercícios de Livros Relacionados

Continuação do exercício 4-44. Considere que o desvio padrão do tamanho de um ponto seja 0.0004 polegadas. Se a probabilidade de um ponto obedecer às especificações foi igual a 0.9973, que especificaç
Estabeleça a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória binomialmente distribuída (baseada em repetições de um experimento) truncada à direita de X=n; isto é, X=n não poderá ser observado
Em algumas tábuas de distribuição normal, H x = 1 2 π ∫ e - t 2 2 d t apresenta-se tabulada para valores positivos de x . Se a variável aleatória X tiver distribuição N ( 1,4 ) , exprimir cada uma das
Continuação do exercício 4-146. Refaça os itens a e B. Considere que a vida média seja uma variável aleatória lognormal, com amei mesmo a média e o mesmo desvio padrão.
A vida (em horas) de um aparelho de imagem por ressonância magnética (IRM) é modelada por uma distribuição de Weibull, com parâmetros β = 2 e δ = 500 horas.Determine a vida média de IRM.Determine a va