UTFPR – 2018.1 – Geometria Analítica e Álgebra Linear - Recuperação
- Considere
- Determine o conjunto de todos os vetores perpendiculares a .
Passo 1
Fala aí, galerinhaa!Nesse item o problema nos pede o conjunto de todos os vetores que são perpendiculares a . Então a gente faz o seguinte, vamos supor que qualquer vetor
Seja perpendicular à . Se os vetores são perpendiculares entre si, então o produto escalar entre eles é nulo. É essa informação que a gente vai usar para poder resolver essa, beleza?Vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Então vamos juntar tudo isso e ver o que a gente consegue encontrar. Partiiiiu!!
Passo 2
Vamos calcular o produto escalar entre e :
Usando a expressão para o produto escalar temos:
Antes da gente ir adiante, vocês perceberam que o sumiu?? Isso quer dizer que ele é uma componente livre... Ou seja, a gente pode ter qualquer valor de em nosso para ser perpendicular a . Por enquanto só sabemos isso:
Passo 3
Como esses vetores são perpendiculares entre si, temos:
Vamos isolar o nessa equação e temos:
E aí a gente obtém que o deve ser um múltiplo da componente . Como não temos mais nenhuma propriedade desse vetor que o problema nos pede, a variável pode ser qualquer coisa então.Dessa maneira, o nosso vetor tem essa cara aqui:
Qualquer vetor que tenha essa cara é perpendicular à . Então aqui temos o nosso conjunto de vetores e aí resolvemos essa 😊
Vamos para a próxima?