Seja um losango com diagonais e .
a) Mostre que os vetores e são ortogonais.
b) Mostre que .
c) Justifique por que a área de um losango é a metade do produto dos comprimentos de suas diagonais.
Passo 1
a) Vamos fazer um desenhinho do problema:
Temos que e . Pra e serem ortogonais, temos que provar que o produto interno entre eles é certo?
Então vamos lá
Como e são os lados do losango e eles têm o mesmo valor, vamos chegar que
Então, de fato eles são ortogonais :)
Passo 2
b) O produto pode ser escrito assim
Aplicando as propriedades de produto vetorial, temos que
Como o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é :
O produto vetorial é a mesma coisa que
Passo 3
c) Lembra que a área de um paralelogramo é o módulo do produto vetorial? Então a área do paralelogramo (lembrando que o losango é um paralelogramo em pé) vai ser .
Pela relação que provamos no item b:
Seja o ângulo entre e , podemos escrever que
Certo, mas lembra que no item a nós provamos que ? Então
Então, pela relação que a gente escreveu ali em cima
Está provado então que a área do losango é a metade do produto das suas diagonais :)
Resposta
Demonstração