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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 10.Problemas Teóricos - Ex. 13

13 – As expressões para alguns orbitais hidrogenóides são dadas nas Tabelas 10.1 e 9.3.

A) Verifique que o orbital 3px está normalizado e que é ortogonal ao orbital 3dxy.

B) Determine as posições dos nós radiais e dos planos nodais dos orbitais 3s, 3px e 3dxy.

C) Determine o raio médio do orbital 3s.

Passo 1

A)

Para verificarmos que o orbital 3px está normalizado devemos mostrar que a seguinte relação matemática é válida:

∫ ψ 3 p x 2 d τ = 1

Onde, ψ3px é a função de onda do orbital 3px e dτ é relacionado como a integração no espaço tridimensional que é dado por:

d τ = r 2 d r s e n θ d θ d ϕ

Com,

0 ≤ r ≤ ∞ ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ ϕ ≤ 2 π

Assim,

∫ ψ 3 p x 2 d τ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 ∞ ψ 3 p x 2 r 2 s e n θ d r d θ d ϕ = 1

Passo 2

Vamos definir a função de onda pelas tabelas 10.1 e 9.3:

A função de onda para o orbital 3px é, pela eq. 10.24:

ψ 3 p x = R 31 Y 1 , - 1 - Y 1,1 2 0,5

Pela tabela 10.1:

R 31 = 1 27 6 0,5 1 a 0 1,5 4 - 1 3 ρ ρ e - ρ 6

Onde,

ρ = 2 r a 0

Pela tabela 9.3:

Y 1 , - 1 - Y 1,1 = 3 8 π 0,5 2 s e n ( θ ) c o s ⁡ ( ϕ )

Assim,

ψ 3 p x = 1 27 6 0,5 1 a 0 1,5 4 - 1 3 ρ ρ e - ρ 6 1 2 0,5 3 8 π 0,5 2 s e n ( θ ) c o s ⁡ ( ϕ )

Passo 3

Substituindo a relação anterior na integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 ∞ 1 27 6 0,5 1 a 0 1,5 4 - 1 3 ρ ρ e - ρ 6 1 2 0,5 3 8 π 0,5 2 s e n θ cos ⁡ ϕ 2 r 2 s e n θ d r d θ d ϕ

Fazendo um rearranjo na integral anterior para facilitar a integração, sendo

ρ = 2 r a 0

r = a 0 ρ 2

d r = a 0 2 d ρ

Assim,

∫ ψ 3 p x 2 d τ = 1 46656 π ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 ∞ 4 - 1 3 ρ ρ e - ρ 6 s e n θ cos ⁡ ϕ 2 ρ 2 s e n θ d ρ d θ d ϕ

Podemos escrever a integral acima como:

∫ ψ 3 p x 2 d τ = 1 46656 π ∫ 0 ∞ 4 - 1 3 ρ 2 e - ρ 6 ρ 4 d ρ ∫ 0 π s e n 3 θ d θ ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ ϕ d ϕ

Passo 4

Resolvendo as integrais:

∫ 0 ∞ 4 - 1 3 ρ 2 e - ρ 3 ρ 4 d ρ = 34992

∫ 0 π s e n 3 θ d θ = 4 3

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ ϕ d ϕ = π

As integrais foram solucionadas com auxílio do software matemático Matlab.

Assim,

∫ ψ 3 p x 2 d τ = 1 46656 π 34992 4 3 π

∫ ψ 3 p x 2 d τ = 1 46656 π 46656 π = 1

Logo, a função de onda do orbital 3px está normalizada.

Passo 5

Agora vamos mostrar que o orbital 3px é ortogonal ao orbital 3dxy. Para fazermos isso, vamos usar a seguinte relação matemática:

∫ ψ 3 p x ψ 3 d x y d τ = 0

Pelas tabelas 10.1 e 9.3:

ψ 3 p x = 1 54 2 π 0,5 1 a 0 1,5 4 - 1 3 ρ ρ e - ρ 6 s e n ( θ ) c o s ⁡ ( ϕ )

ψ 3 d x y = 1 32 2 π 0,5 1 a 0 1,5 ρ 2 e - ρ 6 s e n 2 ( θ ) s e n ( 2 ϕ )

Substituindo na integral:

∫ ψ 3 p x ψ 3 d x y d τ = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 ∞ 4 - 1 3 ρ ρ e - ρ 6 s e n θ cos ⁡ ϕ ρ 2 e - ρ 6 s e n 2 θ s e n 2 ϕ ρ 2 s e n θ d ρ d θ d ϕ

Onde, K é uma constante.

Separando as integrais:

∫ ψ 3 p x ψ 3 d x y d τ = K ∫ 0 ∞ e - ρ 3 ρ 5 d ρ ∫ 0 π s e n 4 θ d θ ∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ s e n 2 ϕ d ϕ

Resolvendo as integrais:

∫ 0 2 π cos ⁡ ϕ s e n 2 ϕ d ϕ = 0

Como já achamos que a integral acima em relação ao ângulo φ é nula, assim, por conseguinte

∫ ψ 3 p x ψ 3 d x y d τ = 0

Logo, o orbital 3px é ortogonal ao orbital 3dxy.

Passo 6

B)

Os nós radiais são determinados encontrando os valores de ρ para o qual a função de onda radial é igual a zero. Ou seja, vamos encontrar os valores de ρ para anular a função de onda para cada orbital. Estes valores são as raízes do polinômio R da porção da função de onda.

Para o orbital 3s:

R = 6 - 6 ρ + ρ 2 = 0

Assim, resolvendo a eq. acima, vamos chegar que:

ρ = 3 + 3 0,5   e   ρ = 3 - 3 0,5

Assim, o orbital 3s tem estes dois planos nodais simétricos esféricos.

Para o orbital 3px:

R = 4 - ρ ρ = 0

Assim,

ρ = 0   e   ρ = 4

Assim, temos que para o orbital 3px, há uma probabilidade nula de encontrar o elétron no núcleo.

Para o orbital 3dxy:

ρ = 0

Este é o único nó radial deste orbital.

Passo 7

C)

O raio médio do orbital 3s é determinado pela seguinte expressão

r = ∫ ψ 3 s 2 r d τ

Dessa forma,

r = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 ∞ ψ 3 s 2 r 3 s e n θ d r d θ d ϕ

A função de onda do orbital 3s é dado por, pelas tabelas 10.1 e 9.3:

ψ 3 s = 1 4 π 0,5 a 0 3888 0,5 6 - 2 ρ + ρ 2 9 e - ρ 6

Passo 8

Substituindo a função de onda definida, na integral:

r = 1 4 π a 0 3888 ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 ∞ 6 - 2 ρ + ρ 2 9 2 e - ρ 3 r 3 s e n θ d r d θ d ϕ

Sendo,

ρ = 2 r a 0

r = a 0 ρ 2

d r = a 0 2 d ρ

Assim,

r = 1 4 π a 0 3888 ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 ∞ 6 - 2 ρ + ρ 2 9 2 e - ρ 3 ρ 3 s e n θ d ρ d θ d ϕ

Separando as integrais:

r = 1 4 π a 0 3888 ∫ 0 ∞ 6 - 2 ρ + ρ 2 9 2 e - ρ 3 ρ 3 d ρ ∫ 0 π s e n θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ

Passo 9

Resolvendo as integrais:

∫ 0 ∞ 6 - 2 ρ + ρ 2 9 2 e - ρ 3 ρ 3 d ρ = 52488

∫ 0 π s e n θ d θ = 2

∫ 0 2 π d ϕ = 2 π

As integrais foram solucionadas com o software matemático Matlab.

Assim,

r = 1 4 π a 0 3888 52488 2 2 π

r = 27 a 0 2 = 13,5 a 0

Onde, a0 é o raio de Bohr.

Resposta

A)

∫ ψ 3 p x 2 d τ = 1

Logo, a função de onda do orbital 3px está normalizada.

∫ ψ 3 p x ψ 3 d x y d τ = 0

Logo, o orbital 3px é ortogonal ao orbital 3dxy.

B)

Para o orbital 3s: ρ = 3 + 3 0,5   e   ρ = 3 - 3 0,5

Para o orbital 3px: ρ = 0   e   ρ = 4

Para o orbital 3dxy: ρ = 0

C)

r = 27 a 0 2 = 13,5 a 0

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