Enunciado

15 – Mostre que Iz e I2 são comutativos com o hamiltoniano de um átomo de hidrogênio. Qual o significado desses resultados?

Passo 1

A regra geral para se usar na decisão das propriedades de comutação é aquela em que o operador não tendo variáveis em comum com uma propriedade, assim este operador comutará um com esta propriedade.

Nós vamos primeiro verificar a comutação do operador Iz com o hamiltoniano.

Vamos resolver esta comutação usando coordenadas polares esféricas de maneira a facilitar a resolução e o raciocínio.

Passo 2

O operador Iz pode ser expresso como, pelo problema 9.28:

I z = ħ i ∂ ∂ ϕ

O operador hamiltoniano é expresso em termos da eq. de Schrödinger, da seguinte forma:

H = - ħ 2 μ ∇ 2 + V

Onde, V é a energia potencial que é expressa como

V = - Z e 2 4 π ε 0 r

Assim,

H = - ħ 2 μ ∇ 2 - Z e 2 4 π ε 0 r

Veja que o segundo termo do hamiltoniano não tem nenhuma variável em comum com o operador Iz, pois, tem-se apenas a variável r no termo e o operador Iz tem a variável φ, assim esse segundo termo do hamiltoniano dado por V, comuta com Iz.

Passo 3

Vamos analisar o primeiro termo do hamiltoniano:

- ħ 2 μ ∇ 2

Sendo ∇ 2 , o gradiente segundo que, pela Justificativa 9.7 do Atkins, cap. 9, é dado por:

∇ 2 = ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r + 1 r 2 1 s e n 2 θ ∂ 2 ∂ ϕ 2 + 1 s e n θ ∂ ∂ θ s e n θ ∂ ∂ θ

∇ 2 = ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r + 1 r 2 1 s e n θ ∂ ∂ θ s e n θ ∂ ∂ θ + 1 r 2 1 s e n 2 θ ∂ 2 ∂ ϕ 2

Assim, observando os termos do operador gradiente segundo, vemos que os dois primeiros termos são referentes a variável r e o terceiro termo é referente a variável θ, logo estes termos do operador comutam com Iz.

Basta sabermos agora se o ultimo termo que contém a variável φ também comutará com Iz.

O termo que devemos analisar é:

∂ 2 ∂ ϕ 2

Este termo comutará com o termo do operador, pois dois operadores com termos iguais, tal como ∂ ∂ ϕ , comutam um com o outro, assim, como

∂ 2 ∂ ϕ 2 =   ∂ ∂ ϕ   ∂ ∂ ϕ

Portanto, este termo também comutará com o operado Iz. Consequentemente, o hamiltoniano comutará com o operador Iz.

Passo 4

Este resultado significa o seguinte: Tendo por simetria que, se o hamiltoniano comuta com Iz ele também deve comutar com os operadores Ix e Iy considerando que lees estejam relacionados um com o outro pela simples transformação de variáveis. Isto prova ser útil estabelecer a comutação de I2 com o hamiltoniano H.

Dessa forma, vamos ter que:

I 2 = I ∙ I = ( i I x + j I y + k I z ) ∙ ( i I x + j I y + k I z )

Que vai resultar em:

I 2 = I x 2 + I y 2 + I z 2

Assim se H comuta com cada um dos operadores de Ix, Iy e Iz ele deve comutar com Ix², Iy² e Iz². Com isso, ele também comutará com I². Assim, H comuta com ambos os operadores I² e Iz.

Resposta

I z = ħ i ∂ ∂ ϕ

H = - ħ 2 μ ∇ 2 - Z e 2 4 π ε 0 r

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