Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 10.Problemas Teóricos - Ex. 15
15 – Mostre que Iz e I2 são comutativos com o hamiltoniano de um átomo de hidrogênio. Qual o significado desses resultados?
Passo 1
A regra geral para se usar na decisão das propriedades de comutação é aquela em que o operador não tendo variáveis em comum com uma propriedade, assim este operador comutará um com esta propriedade.
Nós vamos primeiro verificar a comutação do operador Iz com o hamiltoniano.
Vamos resolver esta comutação usando coordenadas polares esféricas de maneira a facilitar a resolução e o raciocínio.
Passo 2
O operador Iz pode ser expresso como, pelo problema 9.28:
O operador hamiltoniano é expresso em termos da eq. de Schrödinger, da seguinte forma:
Onde, V é a energia potencial que é expressa como
Assim,
Veja que o segundo termo do hamiltoniano não tem nenhuma variável em comum com o operador Iz, pois, tem-se apenas a variável r no termo e o operador Iz tem a variável φ, assim esse segundo termo do hamiltoniano dado por V, comuta com Iz.
Passo 3
Vamos analisar o primeiro termo do hamiltoniano:
Sendo , o gradiente segundo que, pela Justificativa 9.7 do Atkins, cap. 9, é dado por:
Assim, observando os termos do operador gradiente segundo, vemos que os dois primeiros termos são referentes a variável r e o terceiro termo é referente a variável θ, logo estes termos do operador comutam com Iz.
Basta sabermos agora se o ultimo termo que contém a variável φ também comutará com Iz.
O termo que devemos analisar é:
Este termo comutará com o termo do operador, pois dois operadores com termos iguais, tal como , comutam um com o outro, assim, como
Portanto, este termo também comutará com o operado Iz. Consequentemente, o hamiltoniano comutará com o operador Iz.
Passo 4
Este resultado significa o seguinte: Tendo por simetria que, se o hamiltoniano comuta com Iz ele também deve comutar com os operadores Ix e Iy considerando que lees estejam relacionados um com o outro pela simples transformação de variáveis. Isto prova ser útil estabelecer a comutação de I2 com o hamiltoniano H.
Dessa forma, vamos ter que:
Que vai resultar em:
Assim se H comuta com cada um dos operadores de Ix, Iy e Iz ele deve comutar com Ix², Iy² e Iz². Com isso, ele também comutará com I². Assim, H comuta com ambos os operadores I² e Iz.