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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas Teóricos - Ex. 21

21 – Estime os valores esperados de r e de r2 no átomo de hidrogênio com as funções de onda dadas no problema 8.14.

(i)

ψ = 2 - r a 0 e - r 2 a 0  

(ii)

ψ = r s e n ( θ ) c o s ⁡ ( ϕ ) e - r 2 a 0

Passo 1

Os valores esperados de r e r2 podem ser obtidos pela seguinte expressão geral:

F = N 2 ∫ ψ * F ψ d τ

Onde, ψ é a função de onda, N é a cte de normalização, e x representa a função associada a r.

Na integral anterior, o termo dτ é o diferencial associado a integração no espaço tridimensional dado pela seguinte relação:

d τ = r 2 d r s e n θ d θ d ϕ

Com,

0 ≤ r ≤ ∞ ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ ϕ ≤ 2 π

Passo 2

(i)

Para a função de onda

ψ = 2 - r a 0 e - r 2 a 0  

Calculando para F = r:

r = N 2 ∫ ψ * r ψ d τ

Substituindo a função de onda e aplicando os intervalos:

r = N 2 ∫ r 2 - r a 0 2 e - r a 0 d τ = N 2 ∫ 0 ∞ r 2 - r a 0 2 e - r a 0 r 2 d r ∫ 0 π s e n θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ

Resolvendo as integrais:

∫ 0 ∞ 2 - r a 0 2 e - r a 0 r 3 d r = 48 a 0 4

∫ 0 π s e n θ d θ = 2

∫ 0 2 π d ϕ = 2 π

As integrais foram resolvidas pelo software matemático Wolfram Alpha.

Assim,

r = N 2 48 a 0 4 2 2 π = 192 π N 2 a 0 4

Pelo problema 8.14, sabe-se que:

N 2 = 1 32 π a 0 3

Assim,

r = 192 π a 0 4 32 π a 0 3 = 6 a 0

Passo 3

Calculando para F = r2:

Analogamente,

r 2 = N 2 ∫ ψ * r 2 ψ d τ

Substituindo a função de onda e aplicando os intervalos:

r 2 = N 2 ∫ r 2 2 - r a 0 2 e - r a 0 d τ = N 2 ∫ 0 ∞ r 2 2 - r a 0 2 e - r a 0 r 2 d r ∫ 0 π s e n θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ

Resolvendo as integrais:

∫ 0 ∞ 2 - r a 0 2 e - r a 0 r 4 d r = 336 a 0 5

∫ 0 π s e n θ d θ = 2

∫ 0 2 π d ϕ = 2 π

As integrais foram resolvidas pelo software matemático Wolfram Alpha.

Assim,

r 2 = N 2 336 a 0 5 2 2 π = 1344 π N 2 a 0 5

Assim,

r 2 = 1344 π a 0 5 32 π a 0 3 = 42 a 0 2

Passo 4

(ii)

Para a função de onda

ψ = r s e n ( θ ) c o s ⁡ ( ϕ ) e - r 2 a 0

Analogamente,

-F = r

r = N 2 ∫ ψ * r ψ d τ

Substituindo a função de onda e aplicando os intervalos:

r = N 2 ∫ r 2 s e n 2 θ cos 2 ⁡ ϕ e - r a 0 r d τ

r = N 2 ∫ 0 ∞ r 3 e - r a 0 r 2 d r ∫ 0 π s e n 3 θ d θ ∫ 0 2 π c o s 2 ⁡ ( ϕ ) d ϕ

Resolvendo as integrais:

∫ 0 ∞ e - r a 0 r 5 d r = 5 ! a 0 6 = 120 a 0 6

∫ 0 π s e n 3 θ d θ = 4 3

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ ϕ d ϕ = π

As integrais foram resolvidas com auxílio do software matemático Wolfram Alpha.

r = N 2 120 a 0 6 4 3 π

r = 160 π N 2 a 0 6

Pelo problema 8.14

N 2 = 1 32 π a 0 5

Assim,

r = 160 π a 0 6 32 π a 0 5

r = 5 a 0

Passo 5

Para F = r2:

r 2 = N 2 ∫ ψ * r 2 ψ d τ

Substituindo a função de onda e aplicando os intervalos:

r 2 = N 2 ∫ r 2 s e n 2 θ cos 2 ⁡ ϕ e - r a 0 r 2 d τ

r 2 = N 2 ∫ 0 ∞ r 4 e - r a 0 r 2 d r ∫ 0 π s e n 3 θ d θ ∫ 0 2 π c o s 2 ⁡ ( ϕ ) d ϕ

Resolvendo as integrais:

∫ 0 ∞ e - r a 0 r 6 d r = 6 ! a 0 7 = 720 a 0 7

∫ 0 π s e n 3 θ d θ = 4 3

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ ϕ d ϕ = π

As integrais foram resolvidas com auxílio do software matemático Wolfram Alpha.

r 2 = N 2 720 a 0 7 4 3 π

r 2 = 960 π N 2 a 0 7

Pelo problema 8.14

N 2 = 1 32 π a 0 5

Assim,

r 2 = 960 π a 0 7 32 π a 0 5

r 2 = 30 a 0 2

Resposta

(i)

r = 6 a 0

r 2 = 42 a 0 2

(ii)

r = 5 a 0

r 2 = 30 a 0 2

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