23 – A função de onda de um átomo polieletrônico de camada fechada pode ser expressa como um determinante de Slater. Uma propriedade útil dos determinantes é que a troca de duas linhas ou colunas do determinante altera o seu sinal; assim, o determinante se anula quando duas linhas ou colunas são iguais. Use essa propriedade para mostrar que (A) a função de onda é antissimétrica em relação à troca de duas partículas, (B) dois elétrons não podem ocupar o mesmo orbital com o mesmo spin.

Também como dito no enunciado, uma propriedade associada aos determinantes, é que a troca de duas linhas ou colunas do determinante altera o seu sinal. Dessa forma, fazendo uma intercalação entre duas colunas ou duas linhas quaisquer fará com que a função de onda definida pelo determinante não será alterada, exceto pelo seu sinal.

Assim, intercalando a primeira e a segunda coluna, vamos ter que:

Assim,

Isto demonstra que o determinante de Slater dado pela função de onda é antissimétrico em relação à troca de duas partículas.

B)

A possibilidade de que 2 elétrons ocupem o mesmo orbital com o mesmo spin pode ser explicada pegando quaisquer duas linhas idênticas do determinante de Slater, deste modo, ocorrerá que as funções do spin e orbital serão idênticas para essas duas linhas do determinante.

Sendo o seguinte determinante, com a linha 1 e a linha 2 idênticas:

Assim,

Com isso, somente uma função nula satisfaz uma relação isto é o negativo da própria função, então podemos concluir que, desde que a função nula seja inconsistente com a existência, o determinante de Slater satisfaz o princípio de exclusão de Pauli.

Portanto, dois elétrons não podem ocupar o mesmo orbital com o mesmo spin.