10 – Considere o espaço unidimensional no qual uma partícula pode experimentar um de três potenciais, mostrados a seguir, que dependem de sua posição. Eles são:

Na região 1 (), a função de onda da partícula tem uma componente direta eik1x, que é incidente na barreira V2, e uma componente inversa e-ik1x. Na região 3, a função de onda tem somente uma componente direta, eik3x, que representa uma partícula que atravessou a barreira. A energia da partícula, E, tem algum valor no intervalo V2 > E > V3. A probabilidade de transmissão, T, é a razão entre o quadrado do módulo da amplitude da região 3 e o quadrado do módulo da amplitude incidente.

A) Fundamente seu cálculo na continuidade das amplitudes e na continuidade do coeficiente angular da função de onda na fronteira entre as regiões e obtenha uma equação geral para T.

B) Mostre que a equação geral para T se reduz à eq. 9.20b quando V1 = V3 = 0.

Os coeficientes das funções de onda são determinados pelo critério que ambos as funções de onda e suas derivadas primeira com relação a x são continuas nas superfícies potenciais.

O critério estabelecido pelas relações algébricas:

Resolvendo as eq’s acima vamos chegar que para A3:

Onde,

Vamos relembrar que uma função hiperbólica do tipo senh é escrita como

Assim,

Dessa forma

Assim,

Para o coeficiente de transmissão T:

Assim,

Onde,

B)

Para o caso especial de V1 = V3 = 0, pelas eq’s 9.14 e 9.17, vamos ter que:

Teremos também que:

Onde,

Também temos que:

Assim,

Assim,

Podemos reescrever a probabilidade de transmissão como:

Rearranjando,

Assim,

Rearranjando:

Como

Assim,