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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas Numéricos - Ex. 8

Uma partícula está num estado descrito pela função de onda ψ x = a 1 2 e - a x , determine onde a é uma constante e 0 ≤ x ≤ ∞ . Determine o valor esperado do comutador dos operadores da posição e do momento linear.

Passo 1

Opaaaaa, gente!!! Mais uma vez nós aqui na quântica que quero mostrar pra vocês que vocês são tão capazes quanto qualquer outra pessoa de conseguir resolver esses problemas! Então, vem comigo!

O valor expandido do comutador é:

< x ^ , p ^ >   = ∫ ψ * x ^ , p ^ ψ d τ  

Passo 2

Primeiro vamos avaliar a ação do comutador na função de onda. O comutador do operador posição e momento é definido como:

x ^ , p ^ = x ^ p ^ - p ^ x ^ = x × ℏ i d d x - ℏ i d d x x

Portanto, a ação do comutador aplicada na função de onda é

x ^ , p ^ ψ = x × ℏ i d ψ d x - ℏ i d d x x ψ

Onde ψ = 2 a 1 2 e - a x

Passo 3

Avaliando o resultado dessa expressão, temos o seguinte ó:

x ^ , p ^ ψ = x × ℏ i 2 a 1 2 a e - a x - ℏ i 2 a 1 2 e - a x + x a 2 a 1 2 e - a x

= ℏ 2 a 1 2 e - a x i x a - 1 - x a = i ℏ 2 a 1 2 e - a x

No qual é apenas i ℏ multiplicado pela função de onda original. Colocando esse resultado dentro do valor da função expandida, a gente tem que:

< x ^ , p ^ >   = ∫ 0 ∞ 2 a 1 2 e - a x i ℏ 2 a 1 2 e - a x d x = 2 i a ℏ ∫ 0 ∞ e - 2 a x d x

< x ^ , p ^ >   = 2 i a ℏ × e - 2 a x - 2 a 0 ∞ = i ℏ

Resposta

< x ^ , p ^ >   = i ℏ

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