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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 10.Problemas Teóricos - Ex. 17

17 – Algumas propriedades atômicas dependem do valor médio de 1/r ao invés do valor médio de r. Calcule o valor médio de 1/r para (A) o orbital 1s do átomo de hidrogênio, (B) o orbital 2s de um átomo hidrogenóide, (C) o orbital 2p de um átomo hidrogenóide.

Passo 1

O valor médio de uma propriedade, tal como o valor médio do raio atômico, é calculado pela seguinte expressão geral:

r m n l = ∫ ψ n l 2 r m d τ

Onde, ψnl é a função de onda do orbital nl e dτ é relacionado como a integração no espaço tridimensional que é dado por:

d τ = r 2 d r s e n θ d θ d ϕ

Com,

0 ≤ r ≤ ∞ ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ ϕ ≤ 2 π

Assim,

r m n l = ∫ ψ n l 2 r m d τ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 ∞ ψ n l 2 r m + 2 s e n θ d r d θ d ϕ

Passo 2

Vamos definir a função de onda global para cada orbital nl, ψnl

ψ n l = R n l Y 00

Como, pela tabela 9.3:

Y 00 = 1 4 π 0,5

Assim,

ψ n l = 1 4 π 0,5 R n l

Substituindo essa relação na integral:

r m n l = 1 4 π ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 ∞ R n l 2 r m + 2 s e n θ d r d θ d ϕ

Separando a integral:

r m n l = 1 4 π ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n θ d θ d ϕ ∫ 0 ∞ r m + 2 R n l 2 d r

A integral relacionada com os ângulos θ e φ é calculada como

∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n θ d θ d ϕ = 4 π

Assim,

r m n l = ∫ 0 ∞ r m + 2 R n l 2 d r

Onde,

ρ = 2 Z r n a 0

r = n a 0 2 Z ρ

d r = n a 0 2 Z d ρ

Assim,

r m n l = n a 0 2 Z m + 2 ∫ 0 ∞ ρ m + 2 R n l 2 d ρ

Como devemos achar para 1/r, assim m = -1, logo

r - 1 n l = n a 0 2 Z 2 ∫ 0 ∞ ρ R n l 2 d ρ       E q 1

A Eq1 é a eq. geral para determinar os valores médios de 1/r par cada orbital.

Passo 3

A)

Para o orbital 1s:

r - 1 1 s = a 0 2 Z 2 ∫ 0 ∞ ρ R 1 s 2 d ρ

Pela tabela 10.1:

R 1 s = 2 Z a 0 1,5 e - 0,5 ρ

Assim, substituindo

r - 1 1 s = a 0 2 Z 2 ∫ 0 ∞ 4 Z a 0 3 ρ e - ρ d ρ

r - 1 1 s = Z a 0 ∫ 0 ∞ ρ e - ρ d ρ

Resolvendo a integral:

∫ 0 ∞ ρ e - ρ d ρ = 1

Integral solucionada pelo software matemático Matlab.

Assim,

r - 1 1 s = Z a 0

Passo 4

B)

Para o orbital 2s:

r - 1 2 s = a 0 Z 2 ∫ 0 ∞ ρ R 2 s 2 d ρ

Pela tabela 10.1:

R 2 s = 1 8 0,5 Z a 0 1,5 ( 2 - ρ ) e - 0,5 ρ

Assim, substituindo

r - 1 2 s = a 0 Z 2 ∫ 0 ∞ 1 8 Z a 0 3 2 - ρ 2 ρ e - ρ d ρ

r - 1 2 s = Z 8 a 0 ∫ 0 ∞ 2 - ρ 2 ρ e - ρ d ρ

Resolvendo a integral:

∫ 0 ∞ 2 - ρ 2 ρ e - ρ d ρ = 2

Integral solucionada pelo software matemático Matlab.

Assim,

r - 1 2 s = Z 8 a 0 ( 2 )

r - 1 2 s = Z 4 a 0

Passo 5

C)

Para o orbital 2p:

r - 1 2 p = a 0 Z 2 ∫ 0 ∞ ρ R 2 p 2 d ρ

Pela tabela 10.1:

R 2 p = 1 24 0,5 Z a 0 1,5 ρ e - 0,5 ρ

Assim, substituindo

r - 1 2 p = a 0 Z 2 ∫ 0 ∞ 1 24 Z a 0 3 ρ 3 e - ρ d ρ

r - 1 2 p = Z 24 a 0 ∫ 0 ∞ ρ 3 e - ρ d ρ

Resolvendo a integral:

∫ 0 ∞ ρ 3 e - ρ d ρ = 6

Integral solucionada pelo software matemático Matlab.

Assim,

r - 1 2 p = Z 24 a 0 ( 6 )

r - 1 2 p = Z 4 a 0

Resposta

A)

Para o orbital 1s: r - 1 1 s = Z a 0

B)

Para o orbital 2s: r - 1 2 s = Z 4 a 0

C)

Para o orbital 2p: r - 1 2 p = Z 4 a 0

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