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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas Teóricos - Ex. 24

24 – Verifique que a função Y3, +3 está normalizada. (A integração se faz sobre a superfície de uma esfera.)

Passo 1

Para sabermos se a função está normalizada, devemos calcular a integral sobre a superfície de uma esfera e verificar se o valor que encontramos é igual a 1. Caso seja esse valor, então a função está normalizada.

Passo 2

Para uma superfície de uma esfera:

∫ 0 π ∫ 0 2 π Y 3,3 * Y 3,3 s e n ( θ ) d θ d ϕ

Pela Tabela 9.3:

Y 3,3 = 35 64 π 0,5 s e n 3 θ e 3 i ϕ

Y 3,3 * = 35 64 π 0,5 s e n 3 θ e - 3 i ϕ

O produto de Y3,3 com Y*3,3 é

Y 3,3 Y 3,3 * = 35 64 π s e n 6 θ

Assim, substituindo:

∫ 0 π ∫ 0 2 π Y 3,3 * Y 3,3 s e n θ d θ d ϕ = ∫ 0 π ∫ 0 2 π 35 64 π s e n 6 ( θ ) s e n ( θ ) d θ d ϕ

Podemos escrever a integral acima da seguinte forma:

∫ 0 π ∫ 0 2 π 35 64 π s e n 6 ( θ ) s e n ( θ ) d θ d ϕ = 35 64 π ∫ 0 π s e n 6 ( θ ) s e n ( θ ) d θ ∫ 0 2 π d ϕ

Passo 3

Resolvendo as integrais:

∫ 0 2 π d ϕ = ϕ 2 π 0 = 2 π

A outra integral

∫ 0 π s e n 6 ( θ ) s e n ( θ ) d θ = ∫ 0 π s e n 7 ( θ ) d θ

∫ 0 π s e n 7 θ d θ = 32 35

A integral anterior foi resolvida utilizando um software matemático. Dentre os softwares que você pode utilizar para resolver a integral com maior agilidade e praticidade, pode-se citar o Wolfram Alpha, Matlab, Python, entre outros.

Passo 4

Assim, a integral vai ficar:

∫ 0 π ∫ 0 2 π 35 64 π s e n 6 ( θ ) s e n ( θ ) d θ d ϕ = 35 64 π 32 35 2 π

35 64 π 32 35 2 π = 64 π 64 π = 1

Logo,

∫ 0 π ∫ 0 2 π Y 3,3 * Y 3,3 s e n ( θ ) d θ d ϕ = 1

A função Y3,3 está normalizada

Resposta

∫ 0 π ∫ 0 2 π Y 3,3 * Y 3,3 s e n ( θ ) d θ d ϕ = 1

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