Enunciado
Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 15a
15a – Seja f1 = sen(θ) e f2 = cos(θ). Mostre, por simetria, usando o grupo C5, que a integral do produto das duas, sobre um intervalo simétrico em torno do θ = 0, é nula.
Passo 1
Para sabermos se a integral dada é nula, ou não, vamos seguir o procedimento apresentado no Atkins na seção 12.5.
Vamos precisar da tabela de caracteres para o grupo de simetria C5, e com essa tabela pegar os valores dos caracteres correspondentes as funções f1 e f2 definidas como no enunciado e calcular seu produto e depois verificarmos se é independente dos caracteres de A1.
Passo 2
A tabela de caracteres para o grupo C5, com os caracteres para f1 = sen(θ) e f2 = cos(θ) e para a espécie de simetria A1, encontrada na seção de dados do Atkins é a seguinte:
Fazendo o cálculo do produto entre f1 e f2:
Sendo o integrando o integrando I, o produto entre f1 e f2, assim:
Passo 3
Como critério para avaliar se a integral é nula ou não, tem-se que a integral vai ser nula se a linha obtida com a multiplicação entre as funções f1 e f2 poderá ser escrita como a soma dos caracteres de cada coluna sem conter os elementos de A1. Assim, analisando os valores obtidos para o produto entre f1 e f2, vemos que podemos escrever essa linha como sendo a linha da espécie de simetria f2 = cos(θ), sem precisar então de A1, logo a integral é necessariamente nula.
Resposta
A integral é zero, pois os caracteres do produto entre f1 e f2 é independente dos caracteres de A1.