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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.Problemas adicionais - Ex. 70

O átomo de hidrogênio pode ser considerado uma carga pontual positiva + e (o próton) cercada por uma carga negativa - e (o elétron) distribuída em uma nuvem esférica com uma densidade de carga ρ = A exp ⁡ - 2 r a , em que A é uma constante, a = 0,53 ⋅ 10 - 10   m e r é a distância do núcleo. (a) Use o fato de que o átomo de hidrogênio é eletricamente neutro para determinar o valor de A . (b) Determine (b) o módulo e (c) a orientação do campo elétrico do átomo a uma distância a 0 do núcleo.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A carga da nuvem eletrônica é dada pela integral no volume da densidade:

Q n e g a t i v a R = ∫ ρ   d V = ∫ ρ ⋅ 4 π r 2 d r = 4 π A ∫ 0 R r 2 e - 2 r a   d r

Essa é a carga negativa acumulada até uma distância R do núcleo. Olhando uma tabela de integrais, temos que

∫ x 2   e - k x   d x = - e - k x k 2 x 2 + 2 k x + 2 k 3

Assim, usando k = 2 / a :

∫ 0 R e - 2 r a   r 2   d r = - e - 2 r a 4 a 2 r 2 + 4 a r + 2 8 a 3 0 R

Portanto,

∫ 0 R e - 2 r a   r 2   d r = a 3 8 - e - 2 R a 4 a 2 R 2 + 4 a R + 2 + 2

Ou ainda,

∫ 0 R e - 2 r a   r 2   d r = a 3 4 1 - e - 2 R a 2 a 2 R 2 + 2 a R + 1

Desta forma,

Q n e g a t i v a R = 4 π A ⋅ a 3 4 1 - e - 2 R a 2 a 2 R 2 + 2 a R + 1

Logo,

Q n e g a t i v a R = π A a 3 1 - e - 2 R a 2 a 2 R 2 + 2 a R + 1

No limite R → ∞ , a exponencial decrescente mata o resto da expressão dentro do parêntesis, de modo que

Q n e g a t i v a = lim R → ∞ ⁡ Q n e g a t i v a R = π A a 3

Passo 2

Como a carga negativa deve anular a carga do próton:

+ e + Q n e g a t i v a = 0 → π A a 3 = - e

Logo,

A = - e π a 3

Com isso,

Q n e g a t i v a R = - e 1 - exp ⁡ - 2 R a ⋅ 2 a 2 R 2 + 2 a R + 1

Usando a lei de Gauss, podemos achar o campo elétrico pelo fluxo:

E ⋅ 4 π R 2 = Q i n t ϵ 0

No caso, a carga interna é

Q i n t = + e + Q n e g a t i v a R = e - e 1 - exp ⁡ - 2 R a ⋅ 2 a 2 R 2 + 2 a R + 1

Logo,

Q i n t = e ⋅ exp ⁡ - 2 R a ⋅ 2 a 2 R 2 + 2 a R + 1

Usando R = a :

Q i n t = e ⋅ exp ⁡ - 2 ⋅ 2 + 2 + 1 = 5 exp ⁡ - 2   e ≈ 0,677 e

Com isso,

E = 0,677 e 4 π ϵ 0 a 2

Esse campo é radial e aponta para fora.

Resposta

A = - e π a 3

E = 0,677 e 4 π ϵ 0 a 2

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