Em um antigo modelo do átomo, a carga + e do próton estava distribuída uniformemente em uma esfera de raio a , com o elétron de carga - e e massa m no centro. (a) Qual seria a força exercida sobre o elétron se ele fosse deslocado do centro de uma distância r ≤ a ? (b) Qual seria a frequência angular das oscilações do elétron em relação ao centro do átomo depois que o elétron fosse liberado?

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Para resolver esse problema, o primeiro passo é encontrar o campo elétrico a uma distância r do centro da esfera. Para isso, usamos a lei de Gauss:

E ⋅ 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

A carga interna é a carga dentro de uma esfera de raio r :

Q i n t = ρ ⋅ 4 π r 3 3

Por outro lado, a densidade de carga é

ρ = e 4 π a 3 3

Assim,

Q i n t = e 4 π a 3 3 ⋅ 4 π r 3 3 = e r 3 a 3

Portanto,

E ⋅ 4 π r 2 = e r 3 ϵ 0 a 3

Ou ainda,

E = e 4 π ϵ 0 a 3 r

Vetorialmente, temos

E → = e 4 π ϵ 0 a 3 r   r ^

Passo 2

A força elétrica que o elétron vai sentir nessa posição é

F → = - e E →

Portanto,

F → = - e 2 4 π ϵ 0 a 3 r   r ^

Em módulo:

F = e 2 4 π ϵ 0 a 3 r

Observe que se trata de uma força restauradora F = - k r do tipo lei de Hooke, com

k = e 2 4 π ϵ 0 a 3

A frequência angular do MHS associado é dada por

ω = k m

Assim,

ω = e 2 4 π ϵ 0 m a 3

Resposta

F = e 2 4 π ϵ 0 a 3 r

ω = e 2 4 π ϵ 0 m a 3

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