Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas Teóricos - Ex. 30
30 – Uma partícula está restrita a deslocar-se numa caixa unidimensional de comprimento L.
A) Se a partícula for clássica, mostre que o valor médio de x é igual a 0,5L e que o valor médio quadrático é L/30,5.
B) Mostre que, nos valores grandes de n, a partícula quântica tem comportamento semelhante ao da partícula clássica. Esse resultado é exemplo do princípio da correspondência, que estabelece que, para números quânticos grandes, as previsões da mecânica quântica se aproximam das previsões da mecânica clássica.
Passo 1
A)
Vamos começar analisando algumas relações entre a velocidade da partícula, v, a posição da partícula, x, e o tempo que ela está deslocando, se movendo.
Supondo que a partícula clássica tenha uma velocidade constante v, isto é, a sua velocidade média é igual a v. Considerando que a partícula comece seu deslocamento em x = 0 no tempo inicial de t = 0 termine seu deslocamento em instante de tempo t = τ, na posição x = L.
Passo 2
A posição média, o valor médio de x, é dado pela seguinte expressão
Onde, tf é o tempo final do percurso da partícula
Como foi dito que a partícula tem uma velocidade constante v e seu tempo final é t = τ, assim
Assim,
Passo 3
Resolvendo a integral
Assim,
Como na posição final x = L, assim
Assim,
Passo 4
O valor médio quadrático da posição x é dado por:
Da mesma forma, temos que:
Substituindo,
Passo 5
Resolvendo a integral
Assim,
Como na posição final x = L, assim
Assim,
Passo 6
B)
Para este item, temos que trabalhar com partículas quânticas, isto é, vamos ter que usar funções de onda para determinarmos o valor médio de x.
O valor médio de x, assim como no item (A), é dado em função da integral, mas agora para esse caso é escrita em termos da função de onda, ψ
Onde, n é um número quântico que identifica a função de onda para o respectivo estado de energia da partícula.
A função de onda é definida pela Eq. 9.4b do Atkins, que é:
Substituindo na integral:
Passo 7
Resolvendo a integral
Onde,
Utilizando um software matemático, chegamos na seguinte solução para a integral:
Assim,
Passo 8
Analisando o resultado da integral anterior:
Para a função seno
Para a função cosseno
Assim sendo,
O valor médio de x será então:
Que é mesmo resultado da partícula clássica.
Passo 9
Para a média quadrática de x:
Resolvendo a integral por meio de um software matemático:
Da mesma forma:
Para a função seno
Para a função cosseno
Assim,
Passo 10
No entanto, foi dito que n possui um valor muito grande, ou seja, o valor de n tende ao infinito, então
Assim,
A média quadrática então será:
O mesmo resultado para a partícula clássica.
Resposta
A)
B)