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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Aplicações - Ex. 35

35 – A partícula num anel é um modelo útil para o movimento dos elétrons em torno do anel de uma porfina (na figura abaixo), o macrociclo conjugado que forma a base estrutural do grupo heme e da clorofila. Podemos considerar o grupo como um anel circular de raio 440 pm, com 22 elétrons no sistema conjugado movendo-se ao longo do perímetro do anel. Assim como na ilustração 9.1, admitimos que, no estado fundamental da molécula, cada estado está ocupado por dois elétrons.

a) Calcule a energia e o momento angular de um elétron no nível ocupado mais alto.

B) Calcule a frequência da radiação que pode induzir uma transição entre o nível mais alto ocupado e o nível mais baixo desocupado.

Porfina

Passo 1

Vamos começar encontrado o valor que representa o nível mais alto que um elétron ocupa.

O nível ocupado mais alto do elétron, que é representado pelo nº quântico mI, pode ser encontrado analisando a quantidade de elétrons no sistema conjugado. São 22 elétrons, e como foi dito que cada estado está ocupado por dois elétrons, então teremos 5 níveis de energia para esses 22 elétrons, sendo então o estado de maior energia, ou o nível mais alto, o estado de nº 5, e o valor para o nº quântico mI, então é:

m I = ± 5

Passo 2

A)

Vamos agora descobrir como calcular a energia e o momento angular deste elétron no nível mais alto.

O momento angular, J, lembrando é função do momento linear, p, pela seguinte expressão

J = p r

Onde,

-J é o momento angular;

-p é momento linear;

-r é raio da trajetória, no caso o raio do anel;

A energia de um elétron e o momento linear se relacionam pela seguinte expressão

E = p 2 2 m

Onde,

-E é a energia do sistema;

-m é a massa do elétron.

Assim, temos que a energia e o momento angular se relacionam pela seguinte equação:

E = J 2 2 m r 2

Passo 3

Vamos precisar de uma forma de determinar o momento angular, sem depende da energia, E, pois determinando o momento angular, conseguiremos calcular a energia E pela equação anterior.

Vamos relembrar a relação de Broglie, que é:

p = h λ

Onde, h é a constante de Planck, h=6,626x10-34 J.s, e λ é o comprimento de onda que é expresso por

λ = 2 π r m I

Onde, mI é o número quântico que definimos que vale 5

Assim,

p = h m I 2 π r = ħ m I r

Sendo,

p = J r

Asism,

J = ħ m I

Onde,

ħ = h 2 π

Passo 4

Agora basta você aplicar os valores e determinar o valor do momento angular

Aplicando os valores

J = ħ m I = h 2 π m I

J = 6,626 x 10 - 34   J . s 2 π ( 5 ) = 5,275 x 10 - 34   J   s

Voltando na equação da energia,

E = J 2 2 m r 2

A massa, m, do elétron vale

m = 9,11 x 10 - 31   k g

E o raio r:

r = 440   p m = 440 x 10 - 12 m

Aplicando os valores:

E = ( 5,275 x 10 - 34   J   s ) 2 2 9,11 x 10 - 31   k g 440 x 10 - 12   m 2 = 7,89 x 10 - 19 J

Passo 5

B)

Como o nível mais alto ocupado de energia é o nível 5, assim, o nível de energia mais baixo desocupado é o nível 6, logo para esse estado o valor do nº quântico mI vale:

m I = 6

A frequência de radiação que foi solicitada para você calcular nesse item, você pode determinar usando a expressão da variação de energia entre os níveis, cuja expressão é

∆ E = h v

Onde,

-ΔE é a variação de energia entre os níveis;

-ν é a frequência;

-h é a constante de Planck, h=6,626x10-34 J.s.

Isolando a frequência:

v = ∆ E h

Sendo que a variação de energia dos estados (níveis) será dada pela diferença entre a energia do estado 6 com a energia do estado 5:

∆ E = E 6 - E 5

Já temos a energia do estado 5, então só precisamos da energia do estado 6.

Passo 6

Vamos determinar a energia do estado 6.

Analogamente ao que foi feito no item A), podemos determinar a energia do nível 6 pela seguinte expressão

E 6 = J 2 2 m r 2

Onde, agora o momento angular seré

J = h 2 π m I = h 2 π 6

Assim,

E 6 = h 2 π 6 2 2 m r 2 = 36 h 2 8 π 2 m r 2

Aplicando os valores:

E 6 = 36 ( 6,626 x 10 - 34   J . s ) 2 8 π 2 9,11 x 10 - 31   k g 440 x 10 - 12   m 2 = 11,4 x 10 - 19 J

Passo 7

Calculando a frequência:

v = ∆ E h = E 6 - E 5 h

Aplicando os valores:

v = 11,4 - 7,89 x 10 - 19 J 6,626 x 10 - 34   J . s = 5,2 x 10 14   s - 1

Sendo que Hz=s-1, então

v = 5,2 x 10 14   H z = 520 0 00   G H z

Resposta

A)

J = 5,275 x 10 - 34   J   s

E = 7,89 x 10 - 19 J

B)

v = 5,2 x 10 14   H z = 520000   G H z

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