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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 38.Problemas - Ex. 59

38.59. O múon negativo possui carga igual à do elétron, porem sua massa é 207 vezes maior. Considere um átomo semelhante ao átomo de hidrogênio constituído por um próton e um múon. A) Qual é a massa reduzida do átomo? b) Qual é a energia do nível fundamental (em elétrons-volt)? c) Qual é o comprimento de onda da radiação emitida na transição do nível n=2 para o nível n=1?

Passo 1

Para a gente calcular a massa reduzida precisamos usar essa equação

m r = m 1 m 2 m 1 + m 2

Nesse caso temos a massa do elétron e do múon. Mas sabemos, pelo enunciado, que o múon tem massa 207 vezes maior que a massa do elétron, matematicamente

m m = 207 m e

Então a massa reduzida fica

m r = m m m p m m + m p

m r = 207 m e m p 207 m e + m p

Já que o átomo que estamos estudando é constituido de um próton e um múon.

No apêndice do livro a gente encontra os valores da massa do próton e da massa do elétron. Tudo que temos que fazer agora é substituir na equação:

m r = 207 9,109 ⋅ 10 - 31 1,673 ⋅ 10 - 27 207 9,109 ⋅ 10 - 31 + 1,673 ⋅ 10 - 27

Fazendo essa conta

m r = 1,69 ⋅ 10 - 28   k g

Passo 2

Agora vamos para o item (b). A energia no nível fundamental é dada por

E 1 = - 1 ϵ 0 m r e 4 8 h 2  

Mas nós podemos simplificar essa conta. É um resultado conhecido a energia no nível fundamental do hidrogênio:

E H 1 = - 1 ϵ 0 m H e 4 8 h 2 = - h c R H - 13,6   e V  

Então para descobrir a energia no nosso átomo, a gente pode fazer a seguinte manipulação:

E 1 = - 1 ϵ 0 m r e 4 8 h 2 = - m r m H 1 ϵ 0 m H e 4 8 h 2 = - m r m H ⋅ 13,6

Ficou bem mais simples, não é?

A massa do hidrogênio é:

m H = 9,104 ⋅ 10 - 31   k g

Agora podemos substituir os valores

E 1 = - m r m H ⋅ 13,6

Então

E 1 = - 1,69 ⋅ 10 - 28 9,104 ⋅ 10 - 31 ⋅ 13,6

Logo

E 1 = - 2530   e V

Ou

E 1 = - 2,53   k e V

Passo 3

Só falta o item (c). Para encontrar o comprimento de onda de uma transição podemos usar a equação

E i - E f = h c λ

Bom, para calcular a energia em um nível qualquer, podemos seguir um raciocínio análogo ao que fizemos no item (a). E aí descobrimos que

E n = m r m H - h c R H n 2

Então, para descobrir o comprimento de onda temos que fazer

λ = h c E 1 - E 2

Ou ainda

λ = h c - m r m H   h c R H 1 2 2 - 1 1 2

E aí podemos cortar h c

λ = 1 - m r m H   R H 1 2 2 - 1 1 2

Substituindo os valores

λ = 1 - 1,69 ⋅ 10 - 28 9,104 ⋅ 10 - 31   1,097 ⋅ 10 7 1 2 2 - 1 1 2

Isso vai dar

λ = 6,54 ⋅ 10 - 10   m

Ou

λ = 0,654   n m

Resposta

  1. 1,69 ⋅ 10 - 28   k g
  2. - 2,53   k e V
  3. 0,654   n m
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