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Enunciado

Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 9a

9a – Suponha que a função

ψ = A e - a r 2

Onde, A é a constante de normalização e a é um parâmetro ajustável, seja usada como função de onda hipotética para o orbital 1s do átomo de hidrogênio. Expresse a energia dessa função de onda hipotética em função de h, a, e (a carga do elétron) e μ (a massa efetiva do átomo de H).

Passo 1

Para conseguirmos determinar a energia hipotética da função de onda hipotética dada no enunciado, vamos utilizar a expressão dada pela Eq. de Schrödinger, cuja expressão é

H ψ = E ψ

Onde, H é o operador hamiltoniano e, E é a energia hipotética da função de onda ψ

O operador hamiltoniano é dado por:

H = - ħ 2 m e ∇ 2 + V

Onde, V é a energia potencial expressa como:

V = - e 2 4 π ε 0 r

Assim,

H = - ħ 2 m e ∇ 2 - e 2 4 π ε 0 r

O hamiltoniano da função de onda ψ será então

H ψ = - ħ 2 m e ∇ 2 ψ - e 2 4 π ε 0 r ψ

Passo 2

Com as expressões mostradas anteriormente, a energia hipotética E da função de onda ψ será dada por:

E ψ = H ψ

E ψ = - ħ 2 m e ∇ 2 ψ - e 2 4 π ε 0 r ψ

Onde, o gradiente simbolizado por, ∇ , é:

∇ = d d r

∇ ψ = d ψ d r

∇ 2 ψ = d 2 ψ d r 2

Assim,

E ψ = - ħ 2 m e d 2 ψ d r 2 - e 2 4 π ε 0 r ψ

Passo 3

Pegando a expressão da função de onda:

ψ = A e - a r 2

Calculando a derivada segunda da função de onda:

d 2 ψ d r 2 = d 2 d r 2 A e - a r 2 = d d r d d r A e - a r 2

d 2 ψ d r 2 = d d r - 2 a A r e - a r 2

d 2 ψ d r 2 = 4 a 2 A r 2 e - a r 2 - 2 a A e - a r 2

d 2 ψ d r 2 = 2 a ( 2 a r 2 - 1 ) A e - a r 2

Passo 4

Substituindo:

E ψ = - ħ 2 m e 2 a 2 a r 2 - 1 A e - a r 2 - e 2 4 π ε 0 r A e - a r 2

E ψ = - ħ m e a 2 a r 2 - 1 + e 2 4 π ε 0 r A e - a r 2

Assim,

E ψ = - ħ m e a 2 a r 2 - 1 + e 2 4 π ε 0 r ψ

Logo,

E = - ħ m e a 2 a r 2 - 1 - e 2 4 π ε 0 r

Passo 5

O parâmetro ajustável a e o raio r se relacionam pela seguinte expressão:

r = π 8 a 0,5

A massa do elétron, me, e a massa efetiva do átomo de hidrogênio, μ, estão relacionadas pela seguinte expressão:

m e = π μ 2 ħ

Substituindo,

E = - ħ π μ 2 ħ a 2 a π 8 a 0,5 2 - 1 - e 2 4 π ε 0 π 8 a 0,5

E = - 2 ħ 2 π μ a - 3 π 4 - e 2 ε 0 a 2 π 3 0,5

Por fim:

E = 3 a ħ 2 2 μ - e 2 ε 0 a 2 π 3 0,5

Resposta

E = 3 a ħ 2 2 μ - e 2 ε 0 a 2 π 3 0,5

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