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Enunciado

Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 6a

6a – Mostre que o orbital híbrido sp2, (s+20,5p)/30,5, estará normalizado se os orbitais s e p estiverem normalizados.

Passo 1

Para mostrarmos que o orbital hibrido sp2 está normalizado para quando os orbitais s e p estiverem normalizados, vamos determinar as condições pelo qual os orbitais s e p estão normalizados, isto é feito determinando...através de suas funções de onda. Com essa condição de normalização para esses orbitais, vamos pegar a função de onda do orbital hibrido sp2 e usar essa condição para provar que este orbital também está normalizado nesta condição.

Passo 2

Para normalizarmos uma função de onda, temos que utilizar a seguinte relação:

∫ ψ * ψ d τ = 1

Onde, τ significa o espaço onde está sendo integrado a função de onda.

Assim, usando a relação acima, vamos determinar a constante de normalização para as funções de onda dos orbitais s e p, e depois usar essas constantes de normalização para provar que a função de onda do orbital sp2 está normalizado.

Passo 3

Vamos pegar as funções de onda para os orbitais s e p.

Orbital s:

ψ s = A e - Z r a 0

Orbital p:

ψ p = B r c o s θ e - Z r 2 a 0

Onde, A e B são, respectivamente, as constantes de normalização para a função de onda do orbital s e orbital p.

Passo 4

Assim, a normalização para as funções de onda destes orbitais será:

Orbital s:

∫ A e - Z r a 0 A e - Z r a 0 d τ = 1

Veja que apenas a variável radial r se encontra no integrando, assim

∫ ψ * ψ d τ = ∫ 0 ∞ ψ * ψ r 2 d r = 1

A 2 ∫ 0 ∞ e - 2 Z r a 0 r 2 d r = 1                 E q 1

Para o orbital p:

∫ B r c o s θ e - Z r 2 a 0 B r c o s θ e - Z r 2 a 0 d τ = 1

Veja que neste caso, além da variável radial r, também temos a variável angular θ no integrando, assim

∫ ψ * ψ d τ = ∫ 0 ∞ ∫ 0 π ψ * ψ r 2 s e n ( θ ) d θ d r = 1

B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 π r 2 c o s 2 θ e - Z r a 0 r 2 s e n ( θ ) d θ d r = 1

B 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 π r 4 e - Z r a 0 c o s 2 θ s e n ( θ ) d θ d r = 1           E q 2

Passo 5

Vamos agora resolver as integrais, com o auxílio de um sotware matemático, tal como o Matlab.

Pelo Matlab:

∫ 0 ∞ e - 2 Z r a 0 r 2 d r = 1 4 a 0 Z 3

Assim, pela Eq. 1:

A 2 1 4 a 0 Z 3 = 1

A = 2 Z a 0 1,5

A outra integral:

∫ 0 ∞ ∫ 0 π r 4 e - Z r a 0 c o s 2 θ s e n θ d θ d r = 16 a 0 Z 5

Assim, pela Eq.2:

B 2 16 a 0 Z 5 = 1

B = 1 4 Z a 0 2,5

Logo, as funções de onda são:

Orbital s:

ψ s = 2 Z a 0 1,5 e - Z r a 0

Orbital p:

ψ p = 1 4 Z a 0 2,5 r c o s θ e - Z r 2 a 0

Passo 6

Resolvendo agora para o orbital sp2:

ψ s p 2 = ψ s + 2 0,5 ψ p 3 0,5 = 1 3 0,5 ψ s + 2 3 0,5 ψ p

ψ s p 2 = 1 3 0,5 2 Z a 0 1,5 e - Z r a 0 + 2 3 0,5 1 4 Z a 0 2,5 r c o s θ e - Z r 2 a 0

ψ s p 2 = 2 1 3 0,5 Z a 0 1,5 e - Z r a 0 1 + 1 2 0,5 Z a 0 2,5 r c o s θ e - Z r 2 a 0

Assim,

∫ ψ s p 2 2 d τ = ∫ 0 ∞ ∫ 0 π ψ s p 2 2 r 2 s e n θ d θ d r

∫ 0 ∞ ∫ 0 π ψ s p 2 2 r 2 s e n θ d θ d r = 4 3 Z a 0 3 ∫ 0 ∞ ∫ 0 π e - 2 Z r a 0 1 + 1 2 0,5 Z a 0 2,5 r c o s θ e - Z r 2 a 0 2 r 2 s e n θ d θ d r

Passo 7

Resolvendo a integral,

∫ 0 ∞ ∫ 0 π e - 2 Z r a 0 1 + 1 2 0,5 Z a 0 2,5 r c o s θ e - Z r 2 a 0 2 r 2 s e n θ d θ d r = 3 4 a 0 Z 3

Assim,

∫ ψ s p 2 2 d τ = 4 3 Z a 0 3 3 4 a 0 Z 3

∫ ψ s p 2 2 d τ = 1

Portando o orbital sp2 está normalizado.

Resposta

∫ ψ s p 2 2 d τ = 1

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