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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 2A

A constante de estrutura fina, α , tem um papel especial na teoria da estrutura da matéria. O seu valor aproximado é 1 / 137 . Qual o comprimento de onda de um elétron com a velocidade α c , sendo c a velocidade da luz? (observe que a circunferência da primeira órbita de Bohr no átomo de hidrogênio é de 331 p m .)

Passo 1

Faaaalaaa jovem... mais uma resolução e nois tamo aqui juntos! Bora resolver essa parada!!

Seguinte, o enunciado apresenta uns termos diferenciados... mas o que o exercício pede mesmo, é que encontremos um comprimento de onda para o elétron.

Se você se lembrar da relação de Broglie:

λ = h m v

Mas nesse nosso caso:

v → α c

Portanto, basta aplicarmos a seguinte fórmula para resolver essa bagaça:

λ = h m α c

Passo 2

É bem tranquilo... jogando todos os valores que temos.. lembrando que:

h → C t e   d e   P l a n c k = 6,626 × 10 - 34   J   s

e

c = 3 × 10 8   m / s

E ainda que um elétron possui uma massa aproximada de 9,109 × 10 - 31 K g .

Chegaremos no seguinte valor para o comprimento de onda:

λ = 6,626 × 10 - 34 9,109 × 10 - 31 ( 1 / 137 ) ( 3 × 10 8 )

Teremos:

λ = 3 , 32 × 10 10   m

Ou, em outras palavras:

λ = 332   p m

Passo 3

Shoow de bola! Então é isso...

Bom, seria só isso... mas o exercício dá a entender que precisamos discutir esse resultado...

Afinal de contas o que significa um elétron ter comprimento de onda de 332 p m enquanto a primeira órbita de Bohr de um átomo de hidrogênio tem 331 p m de comprimento????!

Bom, basicamente, existe uma relação entre a circunferência da órbita de um átomo e o comprimento de onda de um elétron... para a primeira órbita espera-se que:

  λ e l é t r o n = C i r u n f e r ê n c i a   P r i m e i r a   ò r b i t a

Para a segunda órbita:

2   λ e l é t r o n = C i r c u n f e r ê n c i a   S e g u n d a   ó r b i t a

Assim, para a órbita n :

n λ e l é t r o n = C i r c u n f e r ê n c i a   n - é s i m a   ó r b i t a

Agora, repare no que a gente encontrou:

n   332 = 331

Ou seja:

n > 1

Portanto, o elétron não está mais na primeira órbita do átomo.

Se esse átomo for um hidrogênio, significa que o elétron escapou da órbita, talvez tenha ocorrido uma situação na qual o hidrogênio emprestou esse átomo para realizar alguma ligação química.

Coisa de louco né?! Mas é mais ou menos por aí! hahahaha

Espero ter ajudado pelo menos um bocadinho!! Te vejo na próxima!!

Resposta

Portanto, o comprimento de onda de um elétron a uma velocidade de α c será próximo de:

λ = 332   p m

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