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Enunciado

Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 41

Derive uma expressão para a meia-vida de um reagente A que decai em uma reação de terceira ordem, cuja constante de velocidade é igual a k .

Passo 1

Temos a lei de velocidade:

v = k A 3

Mas também existe outra fórmula para velocidade

v = - 1 a d A d t

Como as duas equações estão igualadas a v , podemos dizer que são iguais

k A 3 = - 1 a d A d t

Podemos passar o - 1 a e o d t multiplicado o lado esquerdo, e A multiplicando o direito

- a ∙ k ∙ d t = d A A 3

Passo 2

Agora vamos integrar amos os lados

∫ t 0 t - a ∙ k ∙ d t = ∫ A 0 A d A A 3

Considerando que t 0 = 0  

∫ 0 t - a ∙ k ∙ d t = ∫ A 0 A d A A 3

Resolvendo as integrais

a ∙ k ∙ t ∙ t 0 = - 1 2 ∙ A 2 ⁡   A A 0

Aplicando os limites de integração:

- a ∙ k ∙ t ∙ = - 1 2 ∙ A 2 - 1 2 ∙ A 0 2

Multiplicando tudo por - 1

a ∙ k ∙ t ∙ = 1 2 ∙ A 2 - 1 2 ∙ A 0 2

Retirando o   2 em evidência

a ∙ k ∙ t ∙ = 1 2 ∙ 1 A 2 - 1 A 0 2

Passando 1 2 multiplicando o lado esquerdo

2 ∙ a ∙ k ∙ t ∙ = 1 A 2 - 1 A 0 2

Isolando 1 A 2

1 A 2 = 1 A 0 2 + 2 ∙ a ∙ k ∙ t ∙

Realizando o mínimo múltiplo comum

A 0 2 A 2 = A 2 A 0 2 + 2 ∙ a ∙ k ∙ t ∙ A 0 2 ∙ A 2 A 0 2 ∙ A 2

Reorganizando

A 0 2 = A 2 + 2 ∙ a ∙ k ∙ t ∙ A 0 2 ∙ A 2

Tirando o [ A ] em evidência

A 0 2 = A 2 ∙ 1 + 2 ∙ a ∙ k ∙ t ∙ A 0 2

Isolando A , temos

A 2 = A 0 2 1 + a ∙ k ∙ t ∙ A 0 2

Passo 3

O tempo de meia vida, é o tempo que leva para concentração inicial cair pela metade.

A t = 1 2 A 0

Substituindo na fómula da equação de segunda ordem temos:

a k ∙ t = 1 A 0 2 4 - 1 A 0 2

Relembrando que:

1 A 0 4 = 1 1 ∙ 4 A 0 2

Aplicando na equação:

2 ∙ a ∙ k ∙ t = 4 A 0 2 - 1 A 0 2

Realizando a subtração

2 ∙ a ∙ k ∙ t = 3 A 0 2

Como estamos trabando com tempo de meia vida:

t = t 1 / 2

Então:

2 ∙ a ∙ k ∙ t 1 / 2 = 3 A 0 2

Isolando ∙ t 1 / 2

t 1 / 2 = 3 2 ∙ a ∙ k ∙ A 0 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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