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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 10.Problemas Teóricos - Ex. 22

A divisão dos feixes atômicos na experiência de Stern-Gerlach é pequena e se opera ou com grandes gradientes do campo magnético ou com ímãs compridos, para se obterem boas observações. Com um feixe de átomos de momento angular orbital nulo, como H ou Ag, o desvio é dado por x = ± μ B L 2 4 E K d B d z , em que μ B é o magnéton de Bohr (Problema 10.9), L é o comprimento do ímã, E K é a energia cinética média dos átomos do feixe, e d B / d z é o gradiente do campo magnético. (a) Com a distribuição de velocidades de Maxwell=Boltzmann, mostre que a energia cinética de transição média dos átomos que emergem num feixe através de orifício nas paredes de um forno, na temperatura T, é 2kT. (b) Calcule o gradiente de campo magnético capaz de provocar a separação de 1,0 mm num feixe de átomos de Ag provenientes de um forno a 1000 K, com um ímã de 50 cm de comprimento.

Passo 1

A distribuição de velocidade de um feixe molecular é relacionada a distribuição de velocidade dentro da câmara por um fator de ν c o s θ como mostrado na figura abaixo. Desde que a integração em torno de todo θ possível seja feita, o fator c o s θ pode ser absorvido dentro de uma constante de proporcionalidade.

Passo 2

(a) Pela normalização em torno das velocidades possíveis do feixe molecular ( 0 < ν f e i x e < ∞ )

f f e i x e = C ν ν 2 e - m ν 2 2 k T = C ν 3 e - m ν 2 2 k T

∫ v = 0 ∞ f f e i x e   d v = 1 = C ∫ v = 0 ∞ v 3 e - m v 2 2 k T d v = C 1 2 m 2 k T 2

C = 2 m 2 k T 2

Passo 3

Agora vamos calcular a velocidade dada por:

< v 2 >   = ∫ v = 0 ∞ v 2 f f e i x e v d v = C ∫ v 5 e - m v 2 2 k T d v

= C 1 m 2 k T 3 = 2 m 2 k T 2 m 2 k T 3 = 4 k T m

< E k >   = m 2 < v 2 >   = m 2 4 k T m = 2 k T

Passo 4

(b) Agora vamos calcular a posição desse benditooo!!!

Δ x = 2 μ B L 2 4 E k d B d z

d B d z = 4 E k Δ x 2 μ B L 2 = 4 2 k T Δ x 2 μ B L 2 = 4 k T Δ x μ B L 2

Vamos agora substituir nossos valores:

d B d z = 4 1,3807 × 10 - 23 1000 1 × 10 - 3 9,27402 × 10 - 24 × 50 × 10 - 2

d B d z = 23,8   T m - 1

Resposta

d B d z = 23,8   T m - 1

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