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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 10.Problemas Teóricos - Ex. 12

Mostre, por integração, que os orbitais hidrogenóides (a) 1s e 2s, e (b) 2px e 2py, são mutuamente ortogonais.

Passo 1

E aí, genteee! Tranquilidade? Então, a primeira coisa que precisamos lembrar é, o que nos garante a partir da integração que os orbitais são ortogonais mutuamente?

∫ ψ 1 * ψ 2 d τ = 0

Se a gente conseguir provar isso para todos os sistemas dados pra gente nesse exercício, isso quer dizer que são ortogonais.

Passo 2

(a)

∫ 0 ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π ψ 1 s ψ 2 s r 2 d r   s e n θ   d θ   d ϕ = 0

Y 0,0 = 1 4 π 1 2 ψ 1 s = R 1,0 Y 0,0 ψ 2 s = R 2,0 Y 0,0

Desde que Y 0,0 é uma constante, a integral em torno da função radial determina pra gente a ortogonalidade das funções, certo?

∫ 0 ∞ R 1,0 R 2,0 r 2 d r

R 1,0 = ∝ e - ρ 2 = e - Z r a 0      

R 2,0 ∝ 2 - ρ 2 e - ρ 4 = 2 - Z r a 0 e - Z r 2 a 0  

Para ambos os casos temos que ρ = 2 Z r a 0

∫ 0 ∞ R 1,0 R 2,0 r 2 d r ∝ ∫ 0 ∞ e - Z r a 0 2 - Z r a 0 e - Z r 2 a 0   r 2 d r

= ∫ 0 ∞ 2 e - 3 2 Z r a 0   r 2 d r - ∫ 0 ∞ Z a 0 e - 3 2 Z r a 0   r 3   d r

= 2 × 2 ! 3 2 z a 0 3 - z a 0 × 3 ! 3 2 z a 0 4 = 0

Portanto, para o caso (a) temos que são ortogonais!

Passo 3

(b) Nós precisamos usar os orbitais pz e py na forma dada da seção 10.2

p x ∝ x ,                 p y ∝ y

Portanto,

∫ p x p y d x d y d z ∝ ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ ∫ - ∞ + ∞ x y   d x d y d z

Note que essa integral com certeza dará zero, uma vez que estamos indo de pontos simétricos na integração. Mais explicitamente podemos ainda performar essa integração usando os orbitais na forma que é dada também na seção 10.2 como dito anteriormente, se liga!

p x = f r s e n θ c o s ϕ

p y = f r s e n θ s e n ϕ

∫ p x p y r 2 d r   s e n θ   d θ   d ϕ = ∫ 0 ∞ f r 2 r 2 d r ∫ 0 π s e n 2 θ d θ ∫ 0 2 π c o s ϕ   s e n ϕ   d ϕ

Esse primeiro fator é um “não zero” desde que as funções radiais estejam normalizadas. O segundo fator é dado por um π 2 ; E o terceiro é ZERO, portanto o produto disso vai nos dizer que essa integração também dará zero e, portanto, temos novamente que as funções são ortogonais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que a Eq. 39-44., que expressa a densidade de probabilidade radial para o estado fundamental do átomo de hidrogênio é normalizada, ou seja, que: ∫ 0 ∞ P r d r = 1
Calcule a densidade de probabilidade radia P ( r ) par o átomo de hidrogênio no estado fundamental ( a ) em r = 0 ; ( b ) em r = a ; ( c ) em r = 2 a , onde a é o raio de Bohr.
As funções de onda dos três estados cujos gráficos de pontos aparecem na Fig. 39-23. para os quais n = 2 , λ = 1 , e m λ = 0 ,+ 1 ,e - 1 são: ψ 210 r , θ = 1 4 2 π a - 3 / 2 r a 2 e - r / 2 a c o s θ
Qual e a probabilidade de que um eletron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja encontrado na região entre duas cascas esféricas de raios r e r + ∆ r ( a ) se r = 0,500 a e ∆ r = 0,010 a ;
Determine ( a ) o intervalo de comprimentos de onda e ( b ) o intervalo de frequências da série de Lyman. Determine ( c ) o intervalo de comprimentos e ( d ) o intervalo de frequências da série de Bal