Enunciado

Estime o desvio padrão absoluto e o coeficiente de variação para os resultados dos seguintes cálculos. Arredonde cada resultado de maneira a incluir apenas os algarismos significativos. Os números entre parênteses expressam os desvios padrão absolutos.

Passo 1

Fala aí! Essa aqui é uma questão de propagação de erros. Tá lembrado como se resolve? Para uma soma ou diferença, o desvio padrão absoluto do resultado é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios padrão absolutos de cada parcela. Com isso, vamos olhar pra nossa primeira expressão:

y = 1,02 ± 0,02 × 10 - 8 - 3,54 ± 0,2 × 10 - 9 = - 6,66 × 10 - 9

O desvio padrão absoluto do resultado vai ficar assim:

σ y = ( 0,02 × 10 - 8 ) 2 + ( 0,2 × 10 - 9 ) 2 = 2,83 × 10 - 10

E para chegarmos no coeficiente de variação, basta dividirmos este valor encontrado pelo resultado da expressão anterior e multiplicar por 100. Se liga:

C V = 0,283 × 10 - 9 6,66 × 10 - 9 × 100 = - 4,3 %

A próxima é:

y 2 = 90,31 ± 0,08 - 89,32 ± 0,06 + 0,200 ± 0,004 = 1,19

σ y 2 = 0,08 2 + 0,06 2 + 0,004 2 = 0,1

E o coeficiente:

C V = 0,1 1,19 × 100 = 8,4 %

Passo 2

Os próximos envolvem multiplicação ou divisão, neste caso, primeiro devemos encontrar o desvio padrão relativo do resultado e então multiplicar pelo resultado. O desvio padrão relativo da resposta é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios padrão relativos de cada parcela. Ficou confuso? É só seguir essa equaçãozinha aqui:

σ y y = σ a a 2 + σ b b 2 + σ c c 2 ,     p a r a                 y = a × b c

Assim, a expressão

y = 0,0020 ± 0,0005 × 20,20 ± 0,02 × 300 ± 1 = 12

Vai ficar:

σ y 3 y = 0,0005 0,0020 2 + 0,02 20,0 2 + 1 300 2 = 0,25

Então:

σ y 3 = 0,25 × y 3 = 3

E com isso:

C V 3 = 3 12 × 100 = 25 %

Passo 3

A próxima expressão é a seguinte:

y 4 = 163 ± 0,03 × 10 - 14 1,03 ± 0,04 × 10 - 16 = 158 × 10 2

Procedemos assim:

σ y 4 = 0,03 163 2 + 0,04 1,03 2 × 158 × 10 2 = 614

E:

C V 4 = 614 15800 × 100 = 3,9 %

Passo 4

Mais uma do mesmo modelo, bem simplesinha:

y 5 = 100 ( ± 1 ) 2 ( ± 1 ) = 50

σ y 5 = 1 100 2 + 1 2 2 × 50 = 25

C V 5 = 25 50 × 100 = 50 %

Passo 5

E, pra finalizar, uma que envolve ambos os casos:

y 6 = 2,45 ± 0,02 × 10 - 2 - 5,06 ± 0,06 × 10 - 3 23,2 ± 0,7 + 9,11 ± 0,08 = 602 × 10 - 6

Pra resolver isso aí, primeiro temos que calcular o desvio padrão da soma e da diferença.

Para o numerador:

σ = 0,02 × 10 - 2 2 + 0,06 × 10 - 3 2 = 209 × 10 - 6

E para o denominador:

σ = 0,7 2 + 0,08 2 = 0,706

Aí podemos reescrever a expressão assim:

y 6 = - 2,61 ( ± 0,000209 ) 32,31 ( ± 0,706 )  

Agora, calculamos para a divisão da forma que já sabemos fazer.

σ y 6 = 209 × 10 - 6 2,61 2 + 0,706 32,31 2 × 602 × 10 - 6 = 1,32 × 10 - 5

E enfim:

C V 6 = 13,2 × 10 - 6 602 × 10 - 6 × 100 = 2,2 %

Resposta

(a) y = - 6,66 ± 0,3 × 10 - 9 ;   σ y = 0 , 3 × 10 - 9 ; C V = - 4 %

(b) y = 1,19 ± 0 , 1 ;   σ y = 0 , 1 ; C V = 8 , 4 %

(c) y = 12 ( ± 3 ) ;   σ y = 3 ; C V = 25 %

(d) y = 158 × 10 2 ;   σ y = 614 ; C V = 3,9 %

(e) y = 50 ( ± 25 ) ;   σ y = 25 ; C V = 50 %

(f) y = 602 ± 13,2 × 10 - 6 ;   σ y = 13,2 × 10 - 6 ; C V = 2,2 %

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