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Enunciado

Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 35

  1. Faça o gráfico da função de onda da partícula em uma caixa para n = 2 e L = 1   m .
  2. Quantos nodos tem a função de onda? Onde ocorrem esses nodos?
  3. Repita as partes (a) e (b) para n = 3 .
  4. Que conclusão geral você pode tirar para a relação entre n e o número de nodos presentes em uma função de onda?
  5. Converta o gráfico n = 2 para distribuição de densidade de probabilidade: em quais valores de x é mais provável encontrar a partícula?
  6. Repita a parte (e) para n = 3 .

Passo 1

Legal galera, vamos descobrir como calculamos a função de onda de uma partícula, certo?

Ψ n = 2 L 1 2 s e n   n π x L

Como a função de onda está em função do seno, podemos assumir que ela irá apresentar o mesmo comportamento em intervalos definidos .

Então, se substituirmos para n = 2 e n = 3 :

Ψ 2 = 2 1   m 1 2 s e n   2 π x 1 m

Ψ 3 = 2 1   m 1 2 s e n   3 π x 1 m

Como x também é dada em m:

Ψ 2 = 2 1 2 . s e n   ( 2 π x )   m - 1 2

Ψ 3 = 2 1 2 . s e n   ( 3 π x )   m - 1 2

Lançando nos dados os valores de Ψ n para valores de x indo de 0 até 1:

Passo 2

E se lembramos que os nodos são os valores de x cuja função de onda é zero:

Ψ 2 = 2 1 2 . s e n   2 π x m - 1 2 = 0

s e n   2 π x m - 1 2 = 0  

Aplicando o arcoseno:

2 π x ' =   0 → x ' = 0

2 π x ' ' =   π → x ' ' = 0,5   m

2 π x ' ' ' =   2 π → x ' ' ' = 1   m

Então, para n = 2 nós temos nódulo no ponto 0,5 m, já que os demais são os extremos.

Para a letra c:

Ψ 3 = 2 1 2 . s e n   3 π x m - 1 2 = 0

s e n   3 π x m - 1 2 = 0

Aplicando o arcoseno:

3 π x ' = 0 → x ' = 0

3 π x ' ' = π → x ' ' = 0,333   m

3 π x ' ' ' = 2 π → x ' ' ' = 0 , 667   m

Então, para n = 3 nós temos nódulo no ponto 0,333 m e 0,667 m.

Passo 3

E agora? Qual a relação entre n e o número de nodos presentes em uma função de onda?

Vamos analisar!

Quando n = 2 → N o d o s = 1 e quando n = 3 → N o d o s = 2 .

Então o que nós podemos concluir?

Que:

N o d o s = n - 1

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Bom galera, agora n[os precisamos da distribuição de densidade de probabilidade, Ψ n 2 :

Ψ n 2 = 2 L s e n 2   n π x L

Substituindo para n = 2 e n = 3 :

Ψ 2 2 = 2 1   m s e n 2   2 π x

Ψ 3 2 = 2 1   m s e n 2   3 π x

Lançando nos dados os valores de Ψ n 2 para valores de x indo de 0 até 1:

Com o gráfico nós já conseguimos responder onde a probabilidade de encontrar a partícula é maior.

Já sabem onde?

Nos picos, certo?

Então, para n = 2 os picos estão localizados em x = 0,25   m e x = 0,75   m .

E para n = 3 os picos estão localizados em x = 0 , 17   m ,   x = 0,5   m e x = 0 , 83   m .

Então é isso! Finalizamos mais uma !!

Resposta

  1. e (c) :
  2. 0,5   m ;
  3. 0,333   m   e   0,667   m ;
  4. N o d o s = n - 1 ;
  5. x = 0,25   m e x = 0,75   m ;
  6. x = 0,17   m ,     x = 0,5   m e x = 0,83   m .
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