Enunciado
Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 31
Os níveis de energia de uma partícula de massa m em uma caixa quadrada de duas dimensões de lado L são dados por Existe algum nível degenerado? Se existir, encontre os valores dos números quânticos n1 e n2 dos três primeiros casos para os quais essas degenerescências ocorre.
Passo 1
Os níveis de energia de uma partícula é um estado quântico cuja a energia está bem definida ao longo do tempo, os três primeiros são n= 1, n=2 e n=3. Eles serão degenerados quando tiverem o mesmo valor de A para B e de B para A, ou seja, o primeiro nivel só é degenerado se ele tiver a mesma energia quando passa para o segundo e mesma energia quando ele passa do segundo para o primeiro.
Passo 2
Agora qua já sabemos quais níveis vamos usar e o que é degenerado podemos substituir na equação que é dada no enunciado.
- Com n1=1 e n2=2
- Com n1=2 e n2=1
Passo 3
Substituindo os dois primeiros níveis podemos perceber que que eles possuem a mesma energia, portanto são degenerados. Isso vai acontecer em todos os três primeiros níveis que nos foi dado nessa questão.
Isso vai acontecer porque o que varia na equação são os valores de n, todavia por ser a soma de quadrados a ordem dos fatores não interfere no resultado, por isso sempre que fizermos do nivel A para o B e do B para o A teremos o mesmo resultado.
Resposta
Todos os três primeiros níveis são degenerados:
n1=1 e n2=2 degenerados com n1=2 e n2=1
n1=1 e n2=3 degenerados com n1=3 e n2=1
n1=2 e n2=3 degenerados com n1=2 e n2=3