Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas Numéricos - Ex. 7
7 – Uma partícula num estado descrito pela função de onda
Onde, a é uma constante e
Verifique se o valor do produto ΔpΔq é consistente com o que é previsto pelo princípio da incerteza.
Passo 1
De acordo com o princípio da incerteza:
Onde, Δq e Δp são os desvios médios da raiz quadrática:
Passo 2
Para verificarmos se a relação mostrada para o princípio da incerteza é válida para a partícula que tem função de onda dada por
Vamos precisar das médias dos parâmetros de mecânica quântica
Calculando a média de x, que é dado por:
Aplicando os intervalos e substituindo a função de onda:
Resolvendo a integral
Utilizando um software matemático, tal como o Wolfram Alpha, temos que
Assim,
Passo 3
Calculando a média de x2:
Analogamente,
Aplicando os intervalos e substituindo a função de onda:
Resolvendo a integral
Utilizando um software matemático, tal como o Wolfram Alpha, temos que
Assim,
Passo 4
Pegando a expressão para Δq:
Assim,
Passo 5
Vamos agora determinar a média dos momentos lineares.
A média do momento linear é dado por:
Onde,
Assim,
Aplicando os intervalos
Passo 6
Vamos precisar avaliar a derivada da função de onda em relação a x:
Substituindo
Como já foi visto que
Assim,
Passo 7
Para a média quadrática do momento linear:
Analogamente,
Onde,
Na qual
Logo,
Substituindo,
Aplicando os intervalos
Passo 8
Vamos precisar avaliar a derivada segunda da função de onda em relação a x:
Onde, como já vimos
Assim,
Passo 9
Substituindo:
Resolvendo a integral pelo Wolfram Alpha:
Assim,
Simplificando a eq. acima, vamos chegar que:
Passo 10
Como sabemos para o momento linear temos que
Assim,
Passo 11
Finalmente, para fechar a resolução vamos verificar o produto ΔpΔq
Que é exatamente o mínimo valor para o produto de ΔpΔq consistente com o princípio da incerteza.