Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 10.Problemas Teóricos - Ex. 21
21 – Algumas das regras de seleção para os átomos hidrogenóides foram obtidos na Justificativa 10.4. Complete a derivação considerando as componentes x e y do operador de momento de dipolo elétrico.
Passo 1
Pela Justificativa 10.4, tem-se que a transição do momento de dipolo, μfi, tem que ser não nulo para que uma transição possa ser permitida. Além disso, na justificativa 10.4, foi examinado condições pelo qual é permitido a componente z do momento de dipolo para ser não nulo.
Passo 2
Vamos agora analisar os componentes x e y.
O momento de dipolo elétrico é dado pela seguinte expressão:
Para o componente x:
Para o componente y:
Assim como feito na Justificativa 10.4, vamos expressar as coordenadas cartesianas x e y em termos das coordenadas esféricas.
Em coordenadas esféricas:
Passo 3
A função de onda, ψ, é expressa em termos das funções de onda radias, Rnl, e dos harmônicos esféricos, Yl,ml:
Assim,
Onde, dτ está relacionado como a integração no espaço tridimensional que é dado por:
Com,
Assim,
Passo 4
Vamos agora tentar analisar as combinações lineares dos harmônicos esféricos Y1,1 e Y1,-1 fazendo
Pela tabela 9.3 do Atkins:
Onde, C é uma cte associada com a constante de normalização.
Também pela tabela 9.3:
Vamos relembrar que a funções eiφ estão relacionadas com as funções trigonométricas da seguinte forma:
Assim, substituindo
Como definimos
Dessa forma
Assim,
Passo 5
O momento de dipolo elétrico será então:
Vamos agora dividir as integrais:
Onde, podemos dividir a integral associada com os ângulos da seguinte maneira:
A integral que contém Y1,1 desaparece, isto é, se torna nula a menos que
A integral que contém o termo Y1,-1, não fornece nenhuma restrição.
As analises são análogas para o componente y.
Dessa forma, o conjunto completo das regras de seleção, então, mostra que é a transição é permitida somente se