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Enunciado

Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 43

Qual é a probabilidade de encontrar um elétron em uma esfera pequena de raio (a) a 0 ou (b) 2 a 0 no estado fundamental de um átomo de hidrogênio?

Passo 1

A probabilidade de encontrar um elétron em qualquer lugar da esfera é P ( r ) .

P r = ∫ 4 π r 2 ψ 2 ( r )

Aqui ψ ( r ) representa a função de onda.

ψ 2 r = 1 π a 0 3 e - 2 r a 0

Substitua ψ 2 ( r )  e integre com relação a   '   r   ' .

P r = ∫ 4 π r 2 1 π a 0 3 e - 2 r a 0   d r

P r = 4 a 0 3 ∫ r 2 e - 2 r a 0   d r

Passo 2

a) O raio da esfera é a 0 .

Agora integre a equação dentro dos limites de 0 a a 0 .

P r = 4 a 0 3 ∫ 0 a 0 r 2 e - 2 r a 0   d r

P r = 4 a 0 3 e - 2 r a 0 - 2 a 0 r 2 - 2 r - 2 a 0 + 2 - 2 a 0 2 0 a 0

P r = 4 a 0 3 - a 0 e - 2 r a 0 2 r 2 + a 0 r + a 0 2 2 0 a 0

P r = 4 a 0 3 - a 0 e - 2 a 0 a 0 2 a 0 2 + a 0 a 0 + a 0 2 2 - - a 0 e - 20 a 0 2 0 + a 0 0 + a 0 2 2

P r = 4 a 0 3 - a 0 e - 2 2 5 a 0 2 2 - - a 0 2 a 0 2 2

P r = 4 a 0 3 - 5 a 0 3 e - 2 4 + a 0 3 4

P r = 4 a 0 3 a 0 3 - 5 a 0 3 e - 2 4

P r = 1 - 5 e - 2

P r ≅ 0,323

Portanto, a probabilidade é  0,323 .

Passo 3

b) O raio da esfera é 2 a 0 .

Agora integre a equação dentro dos limites de 0 a 2 a 0 .

P r = 4 a 0 3 ∫ 0 2 a 0 r 2 e - 2 r a 0   d r

P r = 4 a 0 3 e - 2 r a 0 - 2 a 0 r 2 - 2 r - 2 a 0 + 2 - 2 a 0 2 0 2 a 0

P r = 4 a 0 3 - a 0 e - 2 r a 0 2 r 2 + a 0 r + a 0 2 2 0 2 a 0

P r = 4 a 0 3 - a 0 e - 4 a 0 a 0 2 4 a 0 2 + a 0 2 a 0 + a 0 2 2 - - a 0 e - 20 a 0 2 0 + a 0 0 + a 0 2 2

P r = 4 a 0 3 - a 0 e - 4 2 13 a 0 2 2 - - a 0 2 a 0 2 2

P r = 4 a 0 3 - 13 a 0 3 e - 4 4 + a 0 3 4

P r = 4 a 0 3 a 0 3 - 13 a 0 3 e - 4 4

P r = 1 - 13 e - 4

P r ≅ 0,762

Portanto, a probabilidade é  0,762 .

Resposta

a) 32,3 %

b) 76,2 %

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