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Enunciado

Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 39

Suponha que uma reação tem a forma a A → p r o d u t o s e que, usando a velocidade única de reação, podemos escrever a lei velocidade = k [ A ] . Derive a expressão da concentração de A no instante t e a expressão da meia-vida de A em termos de a e k .

Passo 1

Temos a lei de velocidade:

v = k A

Mas também existe outra fórmula para velocidade

v = - 1 a d A d t

Como as duas equações estão igualadas a v , podemos dizer que são iguais

k [ A ] = - 1 a d A d t

Podemos passar o - 1 a e o d t multiplicado o lado esquerdo, e A multiplicando o direito

- a ∙ k ∙ d t = d A A

Passo 2

Agora vamos integrar amos os lados

∫ t 0 t - a ∙ k ∙ d t = ∫ A 0 A d A A

Considerando que t 0 = 0  

∫ 0 t - a ∙ k ∙ d t = ∫ A 0 A d A A

Resolvendo as integrais

a ∙ k ∙ t ∙ t 0 = ln ⁡ A A A 0

Aplicando os limites de integração:

a ∙ k ∙ t ∙ = ln ⁡ A - ln ⁡ A 0

Relembrando de propriedades de logaritmo

ln ⁡ A - ln ⁡ B = ln ⁡ A B

Aplicando essa propriedade

a ∙ k ∙ t = ln ⁡ ⁡ A A 0

Relembrando logartimo natural

ln ⁡ A = x

Para descobrir A , utilizamos a definição

e x = A

Aplicando na nossa equação:

e a ∙ k ∙ t = A A 0

Reorganizando

A = A 0 ∙ e a ∙ k ∙ t

Passo 3

O tempo de meia vida, é o tempo que leva para concentração inicial cair pela metade.

A t = 1 2 A 0

Substituindo na equação de primeira ordem antes de ser reorganizada (pode ser feito na outra equação) temos:

ln ⁡ 1 2 A 0 A 0 = - k ∙ t  

Relembrando que:

A 0 2 A 0 = A 0 2 ∙ 1 A 0 = 1 2

Aplicando na equação:

ln ⁡ 1 2 = - k ∙ t  

Dividindo ambos os lados por k

ln ⁡ 1 2 k = - t  

Multiplicando ambos os lado por ( - 1 )

- ln ⁡ 1 2 k = t  

Relembrando que

- ln ⁡ a b = ln ⁡ b a

Ficamos com:

ln ⁡ 2 k = t  

Como estamos trabando com tempo de meia vida:

t = t 1 / 2

Então:

t 1 / 2 = ln ⁡ 2 k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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