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Enunciado

Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 42

Derive uma expressão para a meia-vida de um reagente A que decai em uma reação de ordem n (em que n > 1 ), cuja constante de velocidade é igual a k .

Passo 1

Temos a lei de velocidade:

v = k A n

Mas também existe outra fórmula para velocidade

v = - 1 a d A d t

Como as duas equações estão igualadas a v , podemos dizer que são iguais

k A n = - 1 a d A d t

Podemos passar o - 1 a e o d t multiplicado o lado esquerdo, e A multiplicando o direito

- a ∙ k ∙ d t = d A A n

Passo 2

Agora vamos integrar amos os lados

∫ t 0 t - a ∙ k ∙ d t = ∫ A 0 A d A A n

Considerando que t 0 = 0  

∫ 0 t - a ∙ k ∙ d t = ∫ A 0 A d A A n

Resolvendo as integrais

a ∙ k ∙ t ∙ t 0 = - 1 ( n ) ∙ A n - 1 ⁡   A A 0

Aplicando os limites de integração:

- a ∙ k ∙ t ∙ = - 1 ( n ) ∙ A n - 1 - 1 n ∙ A 0 n - 1

Multiplicando tudo por - 1

a ∙ k ∙ t ∙ = 1 ( n ) ∙ A n - 1 - 1 n ∙ A 0 n - 1

Retirando o   ( n ) em evidência

a ∙ k ∙ t ∙ = 1 n ∙ 1 A n - 1 - 1 A 0 n - 1

Passando 1 n multiplicando o lado esquerdo

n ∙ a ∙ k ∙ t ∙ = 1 A n - 1 - 1 A 0 n - 1

Isolando A n - 1

1 A n - 1 = 1 A 0 n - 1 + n ∙ a ∙ k ∙ t ∙

Realizando o mínimo múltiplo comum

A 0 n - 1 A n - 1 = A 0 n - 1 A 0 2 + 2 ∙ a ∙ k ∙ t ∙ A 0 n - 1 ∙ A n - 1 A 0 n - 1 ∙ A n - 1

Reorganizando

A 0 n - 1 = A n - 1 + 2 ∙ a ∙ k ∙ t ∙ A 0 n - 1 ∙ A n - 1

Tirando o A n - 1 em evidência

A 0 n - 1 = A n - 1 ∙ 1 + 2 ∙ a ∙ k ∙ t ∙ A 0 n - 1

Isolando A n - 1 , temos

A n - 1 = A 0 n - 1 1 + a ∙ k ∙ t ∙ A 0 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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