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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 101

101. Um recipiente ocupado por 45   k g de água líquida a 95   ° C é colocado em uma sala de 90   m 3 que inicialmente está a 12   ° C . O equilíbrio térmico é estabelecido após algum tempo depois da transferência de calor entre a água e o ar da sala. Considerando calores específicos constantes, determine

(a) a temperatura final de equilíbrio,

(b) a quantidade de calor transferido entre a água e o ar da sala e

(c) a geração de entropia. Considere também que a sala esteja bem vedada e bem isolada.

Passo 1

Bora fazer mais uma questãozinha sobre entropia!

Olha só! Inicialmente, vamos analisar alguns aspectos importantes desse nosso problema...

Primeiro, mudanças decorrentes de energia cinética e potencial são insignificantes. Segundo, o ar é um gás ideal com calores específicos constantes. Terceiro, o recipiente está bem fechado e não há transferência de calor da sala para o entorno. E quarto, é assumida a pressão atmosférica do nível do mar igual a P   =   101,3   k P a .

Além disso, da nossa referência bibliográfica tiramos que à temperatura ambiente, o ar tem as seguintes propriedades...

c p = 1,005   k J / ( k g ⋅ K )

c v = 0,718   k J / ( k g ⋅ K )

E também não podemos esquecer do calor específico da água à temperatura ambiente, né!? Ele é igual à...

c á g u a = 4,18 8   k J / ( k g ⋅ K )

Passo 2

a) Primeiramente vamos determinar a massa de ar presente na sala!

Pois bem, ela é dada através da relação abaixo que todo mundo já tá careca de saber...

P V = n a r R T a r 1

Não é essa fórmula que vamos usar, mas sim uma muita parecida e que advém dela também

P V = m a r R T a r 1

Nessa fórmula acima, temos que...

R = 0,287 k P a ⋅ m 3 k g ⋅ K

Logo, substituindo os valores numéricos adequados, ficamos com o seguinte valor para a massa de ar...

m a r = P V R T a 1

m a r = 101,3   k P a ⋅ ( 90   m 3 ) 0,287 k P a ⋅ m 3 k g ⋅ K ⋅ ( 12 + 273   K )

m a r = 111,5   k g

Boa! Fizemos um baita progresso!

Agora, vamos expressar o balanço total de energia presente no nosso problema, ou seja, a influência que a água do recipiente e o ar da sala exercem na temperatura de equilíbrio final...

Basicamente a água vai ceder energia e diminuir a temperatura, enquanto a massa ar vai receber e energia e aumentar a temperatura. Não é difícil!

m á g u a c á g u a T 2 - T á g u a 1 + m a r c v T 2 - T a r 1 = 0

O que nós queremos aqui, é saber o valor final da temperatura de equilíbrio T 2 ...

Pois bem! Bora substituir os valores conhecidos, então...

45   k g 4,188 k J k g ⋅ K T 2 - 95 + ( 111,5 ) ( 0,718   k J / ( k g ⋅ K ) ) T 2 - 12 = 0

268,517 T 2 = 18864,384

T 2 = 18864,384 268,517   ° C

T 2 = 70,2   ° C

Passo 3

b) Bom! Agora que temos T 2 , fica fácil saber a quantidade de calor transferida entre a água e o ar da sala.

É só substituir na fórmula abaixo...

Q = m a c v ( T 2 - T a r 1 )

Q = ( 111,5 ) ( 0,718   k J / ( k g ⋅ K ) ) 70,2 - 12

Q = 4660   k J

Passo 4

c) Já conseguimos todas as temperaturas!

E nessa última letra, o problema quer a geração de entropia total!

Ora bolas! A geração de entropia associada a esse processo de transferência de calor pode ser obtida calculando-se a variação total da entropia, que é a soma das mudanças de entropia da água e do ar.

No caso da água, vamos usar a seguinte fórmula...

s á g u a 2 - s á g u a 1 = m á g u a c á g u a ln ⁡ T 2 T á g u a 1

∆ s á g u a = m á g u a c á g u a ln ⁡ T 2 T á g u a 1

Típica de uma substância incompressível! Substituindo os valores numéricos, temos que...

∆ s á g u a = 45   k g 4,188 k J k g ⋅ K ln ⁡ 70,2 + 273   K 95 + 273   K

∆ s á g u a = - 13,11   k J / K

Já no caso do ar, que a gente rotineiramente trata como gás ideal, vamos usar a fórmula abaixo...

s a r 2 - s a r 1 = c p ln ⁡ T 2 T 1 - R u ln ⁡ P 2 P 1

∆ s a r = m a r c p ln ⁡ T 2 T a r 1 - R u ln ⁡ P 2 P 1

A pressão P 1 , nós já sabemos que é a pressão atmosférica.

Só que tá faltando a pressão P 2 , né não!?

Pra obtê-la basta recorrer à relação abaixo...

P 2 V = m a r R T 2

P 2 = m a r R T 2 V

P 2 = 1 11,5   k g ⋅ 0,287 k P a ⋅ m 3 k g ⋅ K ⋅ ( 70,2 + 273   K ) 90   m 3

P 2 = 122   k P a

Logo, é so cair pro abraço...

∆ s a r = 111,5   k g 1,005 k J k g ⋅ K ln ⁡ 532,9 700 - 0,287 k J k g ⋅ K ln ⁡ 100 600    

∆ s a r = 14,88   k J / K

Pronto! Agora, basta somar as duas!

∆ s g e r a d o = ∆ s á g u a + ∆ s a r

∆ s g e r a d o = - 13,11   k J / K + 14,88   k J / K

∆ s g e r a d o = 1,77   k J / K

Resposta

a)

T 2 = 70,2   ° C

b)

Q = 4660   k J

c)

∆ s g e r a d o = 1,77   k J / K

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